интегральное уравнение

[koushe]

svv
z зависит от x и от y(x). x = [0;l] , у = [0;+бескон]. Явного вида нету, потому что хочу сделать что-то типа программы для различных случаев.

[svv]

А что-нибудь по поводу разрывов, скачков, кусков? Непрерывна ли $z(x, y)$ при фиксированном $x$ как функция $y$?
Вопрос снят.

-- Пн апр 11, 2011 21:07:32 --

Да, Вы можете использовать этот метод, несмотря на разрывы (первого рода, т.е. конечные) функции $z(x, y)$.
$y(x)$ все равно будет непрерывной.

[Полосин]

ecartman, ваше уравнение аналитически не решается. Кое-что можно было бы сделать в случае $a=+\infty$ (и то, если немного модифицировать ядро). С другой стороны, оператор компактный (и даже сжимающий, как указал sup), поэтому его можно аппроксимировать конечномерным и решить уравнение численно с любой точностью. Зачем вам именно аналитическое решение?

[Vince Diesel]

Можно рассмотреть решение, как функцию двух аргументов:

$$ u(x,a)=1+\int_0^a \frac{(1+x)^2}{(1+x+y)^3} u(y,a)dy. $$

Дифференцируя по $a$ и полагая $a=0$, получим $\partial_au(x,0)=1$. Учитывая, что при $a=0$ интегралы пропадают, дифференцируя дальше по $a$, можно последовательно получать слагаемые в разложении $u(x,a)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x) a^n$.

[ewert]

ecartman в сообщении #424055 писал(а):

Т.е. уравнение такое:

$$ u(x)=1+\int_0^a \frac{(1+x)^2}{(1+x+y)^3} u(y)dy, $$

Да интегральный оператор в правой части тупо сжимающий уже в $C([0;a])$, причём его норма меньше $\frac12$:

$\|A\|_{\infty}=\max\limits_{x\in[0;a]}\int\limits_0^a|K(x,y)|\,dy=\max\limits_{x\in[0;a]}\int\limits_0^a\dfrac{(1+x)^2}{(1+x+y)^3}\,dy=$

$=\max\limits_{x\in[0;a]}\dfrac{(1+x)^2}{2}\left(\dfrac{1}{(1+x)^2}-\dfrac{1}{(1+x+a)^2}\right)=\max\limits_{x\in[0;a]}\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{(1+x)^2}{(1+x+a)^2}\right)=$

$=\dfrac12\left(1-\dfrac{1}{(1+a)^2}\right).$

И если надо, скажем, получить численное решение с шестью правильными знаками -- просто тупо итерируем раз двадцать формулой Симпсона узлам так по тридцати, сотня-другая тысяч операций всего-то и понадобится, тьфу.

(Ну или, да, просто составляем систему линейных уравнений, основанную на той же формуле Симпсоне или там Гаусса, объём вычислений будет того же порядка.)