Фундаментальное решение плоской задачи по объемному

[Андрей123]

Здравствуйте. Интересует такой вопрос, как получить фундаментальное решение плоской задачи, зная объемное? Поясню на примере уравнения Лапласа. Общее решение уравнения: $\Delta u=f$ в бесконечной среде есть $\int \frac{f(\xi,\eta,\zeta)}{R_{\xi,\eta,\zeta}}d\xi d\eta d\zeta$. Теперь предположим, что $f$ не зависит от $y$. Тогда указанный интеграл расходится. Ф.р. же решение в двумерном случае есть $\ln\frac{1}{r}$. Я понимаю, что решения обладают различными свойствами на бесконечности, но все же каким образом ответить на поставленный вопрос.

[Vince Diesel]

Ответ на вопрос заключается в словах "метод спуска".
Пусть $\Gamma_3(r,z)$ - ф.р. в $\mathbb R^3$ в цилиндрических координатах, а $\Gamma_2(r)$ - в $\mathbb R^2$. Интеграл $\int_{-\infty}^\infty \Gamma_3(r,z)\,dz$ расходится. Тогда его регуляризуют, вычитая что-нибудь подходящее. В данном случае $\Gamma_2(r)=\int_{-\infty}^\infty (\Gamma_3(r,z)-\Gamma_3(1,z))\,dz$. Если подинтегральную разность взять в качестве ядра потенциала, то и сам он будет сходиться (при продходящих условиях на $f(x,y)$).

Это из той же серии, что и пример про бесконечную равномерно заряженную нить в $\mathbb R^3$. Если прямо считать ее потенциал, то получается бесконечность. Однако сила, то есть градиент потенциала, нормально считается. Так же и здесь, если искать производные по $x,y$, дифференцируя объемный потенциал, то интегралы будут сходиться.

[Андрей123]

Спасибо.