Проверить оператор на самосопряженность

[Sboy]

Добрый день!

Помогите пожалуйста разобраться с задачей: проверить оператор на самосопряженность
$L[x]=\frac {d^2(x)} {d t^2} $
на множестве функций
$C^2[0;l]$
при граничных условиях
$x(0)+h1*x'(0)=0$
$x(l)+h2*x'(l)=0$
$h1*h2>0$

по определению самосопряженности оператора имеем:
$<Lx,y>=<x,Ly>$
$<Lx,y>=\int_{0}^{l} Lx*y*dx$
Я предполагаю, что этот интеграл должен преобразовываться к виду
$<x, Ly> $ + чтото
после чего при помощи заданных граничных условий проверяется равенство этого чегото нулю.
Но вот как расписать интеграл чтото никак сообразить не могу. Может кто сможет помочь с задачей? Заранее спасибо!

[ewert]

Sboy в сообщении #435253 писал(а):

по определению самосопряженности оператора имеем:
$<Lx,y>=<x,Ly>$

Вот тупо двукратным интегрированием по частям и доказывайте (там в конце концов все внеинтегральные члены согласно граничным условиям сократятся).

Только несколько любопытных наблюдений. Во-первых, это условие вовсе не самосопряжённости, а всего лишь симметричности. Во-вторых, на Це-два этот оператор не самосопряжён, а вот именно всего лишь симметричен. Ну и самое пикантное: при чём тут вообще положительность аш на аш?... (нет, я могу, конечно, смутно догадаться, что имелось в виду, но почему оно не открытым текстом имелось).

В общем, непонятно: то ли Ваши начальники такие оригиналы, то ли Вы их столь творчески переработали.

[svv]

$<Lx,y>$ приводится к виду $<x,Ly>$ с помощью двукратного интегрирования по частям. За работу!

ewert писал(а):

при чём тут вообще положительность аш на аш?

Они хотят сказать, что ни один из ашей не равен нулю.

[profrotter]

Что если представить $L=L_1L_1$, где $L_1=\frac {d} {dt}$ и проверить симметричность $L_1$? Тогда, если $L_1$ симметричный, то $<Lx,y>=<L_1L_1x,y>=<L_1x,L_1y>=<x,L_1L_1y>=<x,Ly>$ и $L$ тоже симметричный.
Для проверки симметричности $L_1$ можно использовать формулу интегрирования по частям: $\int\limits_0^l\frac {dx} {dt} ydt=\int\limits_0^lydx=xy|_0^l+\int\limits_0^lxdy=...$

[Sboy]

насчет "аш на аш" извиняюсь за свой "творческий" подход, имелось ввиу что h1 и h2 одного знака.
Да, посмотрел в учебнке и действительно это определение всеголтшь симметричности, а для самосопряженности необходимо еще чтобы сопряженный оператор совпадал с самим оператором(как это проверять пока не совсем представляю) я так понимаю проверки условия симметричности будет в данном случае не достаточно?

[ewert]

svv в сообщении #435267 писал(а):

Они хотят сказать, что ни один из ашей не равен нулю.

А какая разница?... Он так и так будет симметричен. Но не самосопряжён.

Sboy в сообщении #435272 писал(а):

имелось ввиу что h1 и h2 одного знака.

Вот это как раз и не имеет ни малейшего значения. Имело бы смысл (при постановке некоего дополнительного вопроса) потребовать, чтоб один из них был именно положителен, а другой -- именно отрицателен (я вечно забываю, кто конкретно какого знака, а вспоминать лень). А так -- это требование выглядит вполне бессмысленным.

Sboy в сообщении #435272 писал(а):

я так понимаю проверки условия симметричности будет в данном случае не достаточно?

Что значит "недостаточно". Симметричность для самосопряжённости в любом случае необходима, так что эту проверку провести по-любому придётся. А доказать самосопряжённость --увы, никак не выйдет, раз уж её нет.

-- Пт апр 15, 2011 23:14:46 --

profrotter в сообщении #435271 писал(а):

Для проверки симметричности $L_1$ можно использовать

Попробовать можно, но ничего не выйдет -- он не симметричен.

[Sboy]

ewert про разные знаки вы возможно имеете ввиду '-' в левом граничном условии и '+' в правом, т.е. граничные условия третьего рода?
А почеу вы считаете что этот оператор не самосопряженный? Ведь для самосопряженного оператора должно выполняться:
$<Lx,y>=<x,L*y>$
и если $L=L*$ то оператор L самосопряженный
и если доказать что $<Lx,y>=<x,Ly>$ то вроди как получим, что L самосопряженный?

[profrotter]

ewert в сообщении #435277 писал(а):

Попробовать можно, но ничего не выйдет -- он не симметричен.

При заданных ГУ да. Я уже заметил. Стало быть обходных путей нет.

[ewert]

Sboy в сообщении #435280 писал(а):

то вроди как получим, что L самосопряженный?

Вроди как не получим. Вы проверяете условие симметричности на области определения исходного оператора (как и положено по определению симметричности). Между тем оператор, сопряжённый к симметричному -- определён, вообще говоря, шире его. И в данном случае -- действительно шире (он определён на соотв. соболевском пространстве).

Впрочем, этот Ваш оператор действительно самосопряжён, но не в буквальном смысле, а "в существенном" (т.е. самосопряжено его замыкание). А вообще-то не могли бы Вы представить точный оригинальный текст задачки? Мне просто любопытно, кто такие задачки сочиняет; не могли же Вы все эти прелести самостоятельно выдумать.

-- Пт апр 15, 2011 23:38:25 --

profrotter в сообщении #435287 писал(а):

При заданных ГУ да.

ГУ тут не при чём -- он просто не симметричен и всё тут (даже после сужения на финитные функции). Симметричным был бы оператор $i\frac{d}{dt}$, но это действительно ничему не помогает.

[Sboy]

В оригинале текст задачи был такой: Для оператора $L[x]=\frac{d^2 x}{dt^2}$ определить, будетли он самосопряженным на множестве фукций $C^2[0;l]$при граничный условиях $x(0)+h1*x'(0)=0; x(l)+h2*x'(l)=0; h1,h2$ одного знака. Проверить выполняются ли свойства собственных чисел, найти все собственные ф-и.

Хм...а как доказать самосопряженность "в существенном" смысле?:)

[ewert]

Sboy в сообщении #435297 писал(а):

В оригинале текст задачи был такой: Для оператора $L[x]=\frac{d^2 x}{dt^2}$ определить, будетли он самосопряженным на множестве фукций $C^2[0;l]$при граничный условиях $x(0)+h1*x'(0)=0; x(l)+h2*x'(l)=0; h1,h2$ одного знака. Проверить выполняются ли свойства собственных чисел, найти все собственные ф-и.

Могу Вам лишь посочувствовать. Если свойства собственных чисел ещё можно как-то проверить (правда, непонятно, какие в точности свойства, если иметь в виду анекдотическое требование насчёт ашей), то уж собственные функции Вы точно в явном виде не найдёте (поскольку не сможете найти собственные числа, сводящиеся в случае граничных условий третьего типа к трансцедентным уравнениям).

Sboy в сообщении #435297 писал(а):

Хм...а как доказать самосопряженность "в существенном" смысле?:)

Боюсь, что на вашем уровне (а точнее, на уровне ваших преподавателей) -- никак.

[profrotter]

ewert в сообщении #435290 писал(а):

ГУ тут не при чём -- он просто не симметричен и всё тут (даже после сужения на финитные функции). Симметричным был бы оператор , но это действительно ничему не помогает.

А если ГУ $x(0)=0$ и $x(l)=0$
$\int\limits_0^l\frac {dx} {dt} ydt=\int\limits_0^lydx=xy|_0^l+\int\limits_0^lxdy=\int\limits_0^lx\frac {dy} {dt} dt$.
Может я что не так понял?

-- Сб апр 16, 2011 00:07:59 --

Или тут скалярное произведение другое?

[Sboy]

свойства у нас давались для такого оператора в рамках лабораторной работы. Я уже успел в полной мере насладиться численным отысканием собственных чисел для условий трерьего рода....

ewert а вы не моглибы описать в чем разница между самосопряженностью в широком смысле и самосопряженностью аналогичной данном случаю, или посоветовать учебник где про это можно почитать? Заранее спасибо.

[profrotter]

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #435308 писал(а):

ewert в сообщении #435290 писал(а):

ГУ тут не при чём -- он просто не симметричен и всё тут (даже после сужения на финитные функции). Симметричным был бы оператор , но это действительно ничему не помогает.

А если ГУ $x(0)=0$ и $x(l)=0$
$\int\limits_0^l\frac {dx} {dt} ydt=\int\limits_0^lydx=xy|_0^l+\int\limits_0^lxdy=\int\limits_0^lx\frac {dy} {dt} dt$.
Может я что не так понял?

-- Сб апр 16, 2011 00:07:59 --

Или тут скалярное произведение другое?

Понял! В формуле интегрирования по частям минус!
$\int\limits_0^l\frac {dx} {dt} ydt=\int\limits_0^lydx=xy|_0^l-\int\limits_0^lxdy=-\int\limits_0^lx\frac {dy} {dt} dt$
Тогда $<L_1x,y>=-<x,L_1y>$ и
$<Lx,y>=<L_1L_1x,y>=-<L_1x,L_1y>=<x,L_1L_1y>=<x,Ly>$ и $L$ всё же симметричный.
Однако в нынешней задачи ГУ не позволяют использовать такой подход. Ну что ж - ошиблись, пошли по тупиковому пути, зачеркнули и забыли.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, глава IV, параграф 5, раздел 6 определение 4 (стр. 249):

Цитата:

"Ограниченный линейный оператор $A$, действующий в евклидовом пространстве $R$, называется самосопряжённым, если $A=A^*$, т.е. если $(Ax,y)=(x,Ay)$, где $x,y\in R.$"

[ewert]

profrotter в сообщении #435375 писал(а):

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, глава IV, параграф 5, раздел 6 определение 4 (стр. 249):

Цитата:

"Ограниченный линейный оператор $A$, действующий в евклидовом пространстве $R$, называется самосопряжённым, если $A=A^*$, т.е. если $(Ax,y)=(x,Ay)$, где $x,y\in R.$"

А Вы обратили внимание на самое первое слово в определении -- "ограниченный"? Для неограниченных операторов определение самосопряжённости другое. Операторы же дифференцирования -- принципиально неограниченны.

Книжка Колмогорова и Фомина, конечно, замечательна, но не напрасно всё-таки названа "элементами". Неограниченные операторы там, кажется, вообще не рассматриваются.

Sboy в сообщении #435311 писал(а):

в чем разница между самосопряженностью в широком смысле и самосопряженностью аналогичной данном случаю, или посоветовать учебник где про это можно почитать?

В двух словах: оператор самосопряжён, если совпадает со своим сопряжённым. Оператор в существенном самосопряжён, если его замыкание совпадает с его сопряжённым (а замыкание в данном случае -- это результат двукратного сопряжения).

Ваш оператор, заданный на $C^2([a;b])$, не самосопряжён потому, что сопряжённый к нему (действуя, естественно, по тому же правилу) определён на более широкой области -- на соболевском пространстве $W_2^2([a;b])$, состоящем из квадратично интегрируемых функций, имеющих квадратично интегрируемую (но вовсе не обязательно непрерывную) вторую обобщённую производную. Однако в существенном он самосопряжён, поскольку $C^2([a;b])$ плотно в $W_2^2([a;b])$.

Почитать -- навскидку:

Рисс, Надь, Лекции по функциональному анализу, глава 8, п.115 (сопряжённые операторы) и п.119 (симметричные и самосопряжённые операторы).

Рид, Саймон, Методы современной математической физики, т.1 (функциональный анализ), глава 8 (неограниченные операторы).

Да много где. На мой взгляд, наиболее компактно:

Бирман, Соломяк, Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве, глава 3, параграф 3 (сопряжённый оператор, стр.76) и глава 4, параграф 1 (симметричные и самосопряжённые операторы, стр.94).