Измеримые множества

[RIP]

Пусть $A,B\subset\mathbb{R}$ - измеримые (по Лебегу) множества положительной меры.
Докажите, что $A+B\overset{\text{def}}{=}\{a+b\mid a\in A,\ b\in B \}$ содержит некоторый интервал.

[Юстас]

Не знаю насколько всё это строго, но идея такая: существуют такие точки $a,\ b$ и их окрестности $U_a,\ U_b$ что $\mu(U_a\bigcap A)=\mu(U_a)$, аналогично $U_b$, то есть окрестность принадлежит соотвествующему множеству за исключением разве что множества меры 0. Далее понятно, что непрерывным "сдвигом" одной окрестности(например, $U_a)$ недостающее множество меры 0(обозначим его $A_0$) можно покрыть: предположим, существует $a_0\in A_0$ такая что при любом сдвиге на элемент $U_b$ она не покрывается. Тогда имеем $\mu(a_0+U_b)=0$, что очевидно не так.

[Someone]

Юстас писал(а):

существуют такие точки $a,\ b$ и их окрестности $U_a,\ U_b$ что $\mu(U_a\bigcap A)=\mu(U_a)$, аналогично $U_b$

А как быть с нигде не плотным множеством положительной меры?

[Brukvalub]

Подсказка: лучше действовать чуть хитрее: доказать для начала, что для любого измеримого множества $A$ конечной положительной меры Лебега и для любого числа $ p, 0< p < 1$, найдется такой невырожденный отрезок $[a , b ]$ для которого $\mu([a , b ] \bigcap A)>p(b-a) $ . После этого нетрудно доказать, что алгебраическая разность измеримого множества $A$ конечной положительной меры Лебега с самим собой $A-A\overset{\text{def}}{=}\{a-b\mid a\in A,\ b\in A \}$ имеет непустую внутренность, ну а дальше все пойдет по стандартной схеме.