Аналитическая геометрия, кривая второго порядка

[Andrex]

Всем привет!
Прошу помощи в решении задачи из типовика по линейной алгебре...

Исследовать кривую второго порядка и построить её.

$- 3x^2 - 3y^2 + 4xy - 6x + 4y + 2 = 0$

Интересует, конечно, только первая часть задания

[Lion]

Что значит "исследовать кривую"? Если нужно определить ее тип, то достаточно взять квадратичную матрицу левой части и посчитать ее след и определитель, а затем посчитать определитель расширенной матрицы. После этого воспользоваться таблицей инвариантов.

[Andrex]

Берём левую часть и преобразуем её к каноническому виду. Это основная задача. Имея каноническое уравнение, станет понятно, что за кривая и что именно строить. Я не могу привести к каноническому виду.

[Lion]

Коэффициенты в каноническом виде определяются однозначно через вышеупомянутые инварианты. Об этом написано, например, в книге Веселов, Троицкий "Лекции по аналитической геометрии".

[Andrex]

Меня интересуют сами преобразования, а не теоретические аспекты...

[Someone]

Andrex писал(а):

Меня интересуют сами преобразования, а не теоретические аспекты...

Ну, напримкр, так. Записываем формулы поворота системы координат на угол $\alpha$:

$$\begin{cases}x=x'\cos\alpha-y'\sin\alpha\text{,}\\y=x'\sin\alpha+y'\cos\alpha\text{.}\end{cases}$$

Подставляем эти выражения в уравнение кривой и подбираем угол $\alpha$ так, чтобы член, содержащий произведение $x'y'$, исчез. После этого останется только выделить полные квадраты, чтобы избавиться от членов первой степени и сделать ещё некоторые простые преобразования, чтобы привести уравнение к каноническому виду.

Другой способ - использование теории квадратичных форм (может быть, так будет проще, но неплохо посмотреть оба способа).

[V.V.]

Andrex писал(а):

Меня интересуют сами преобразования, а не теоретические аспекты...

А слабо почитать какой-нибудь учебник и сделать по алгоритму, там изложенному?