Помогите разобраться с многочленами

[Xenia1996]

Существует ли такой многочлен $P(x)$, что $P(0)=0$, а $P(x^2+1)=P(x)^2+1$?
*(Кроме, разумеется, многочлена $P(x)=x$ )

Я попыталась найти такой многочлен.

$P(1)=P(0^2+1)=P(0)^2+1=1$

$P(2)=P(1^2+1)=P(1)^2+1=2$

$P(5)=P(2^2+1)=P(2)^2+1=5$

$P(26)=P(5^2+1)=P(5)^2+1=26$

И так до бесконечности.
Стало быть, если такой многочлен существует, то его график должен пересекать график функции $y=x$ в бесконечном (но, возможно, счётном) множестве точек. Но, по-моему, это невозможно. Или я ошибаюсь? А если невозможно, то почему?
Пожалуйста, подскажите!
Заранее благодарна!

[Sonic86]

Если $P(x)=Q(x)$, где $P,Q$ - многочлены, то равенство возможно лишь в конечном числе точек, поскольку $R(x)=P(x)-Q(x)$ - многочлен и значит уравнение $R(x)=0$ имеет конечное число корней (не более $\deg R(x)$ штук).

[ИСН]

Вообще, с любым многочленом (выше первой степени) коммутирует довольно узкий класс других многочленов.