Решение систем дифуров

[yerzhik]

Вопрос такой, я хочу решить систему дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа, но возникает такой вопрос, если каждое уравнение преобразовать с помощью преобразования Лапласа, то мы получим уравнения, ну например такого вида
Исходное уравнение:
$x_1'(t)=x_2(t)+1$
$x_2'(t)=2*x_1(t)+3$

После преобразования Лапласа:
$s*y_1(s) - x_1(0) = y_2(s) + 1$
$s*y_2(s) - x_2(0) = 2*y_1(s) + 3$
Где $L(x_i(t)) = y_i(s)$

То есть уравнение теперь не дифференциальное, но вопрос такой возникает, как его решить теперь? Я понимаю если у нас линейное уравнение с коэффициентами постоянными, и независимые переменные у нас не функции как в моем случае. А тут как быть? как решаются подобные системы уравнений?
Подскажите пожалуйста.

[Алексей К.]

Я забыл преобразование Лапласа, но вижу у Вас обычную линейную систему относительно $y_{1,2}$:

$$\begin{cases}\hphantom{-}sy_1-\:y_2\:=1+x_1(0),\\-2y_1+sy_2=3+x_2(0),\end{cases}$$

Почему бы её не решить привычным методом, по Крамеру там, или ещё как? Найти эти самые $y_1(s),y_2(s)$, а там, наверное, обратное преобразование пойдёт...

-- 03 апр 2011, 10:01 --

Смотрите на коэффициент $s$ как на обычное число, если Вас это смущает.

[yerzhik]

Алексей К. в сообщении #430638 писал(а):

Я забыл преобразование Лапласа, но вижу у Вас обычную линейную систему относительно $y_{1,2}$:

$$\begin{cases}\hphantom{-}sy_1-\:y_2\:=1+x_1(0),\\-2y_1+sy_2=3+x_2(0),\end{cases}$$

Почему бы её не решить привычным методом, по Крамеру там, или ещё как? Найти эти самые $y_1(s),y_2(s)$, а там, наверное, обратное преобразование пойдёт...

Например есть система,
$x + y = 1$
$x - 2*y = 2$

в ней мы ищем $x, y$ как неизвестные переменные.
и в этой системе у нас коэффициенты константы .
В моем же примере уравнения отличаются, неизвестные переменные уже неизвестные функции от переменной$s$, а коэффициенты зависимы от переменной $s$. Я просто к тому, можно ли применять методы решения систем уравнений к подобному роду задач? Тут же как бы зависимость другая уже.

[Алексей К.]

yerzhik в сообщении #430646 писал(а):

и в этой системе у нас коэффициенты константы .

А ещё у Вас бывали коэффициенты-параметры, вроде $a$. Решая "привычную" линейную систему, Вы делали эквивалентные преобразования над выражениями. Это всегда можно (ответ на вопрос "можно ли применять методы решения...").
Вот умножить первое уравнение на 2, слева и справа, естественно. Кто нам это запретит?
Вот умножим второе уравнение на s, слева и справа, естественно. Ну почему нельзя?
Ну сложим два получившихся уравнения. Если в изначальных была правда, то и в сумме их правда будет. Кто нам это запретит?
Теперь $y_2$ влево, остальное вправо. Причём тут какие-то методы, роды задач? Мы это делаем всегда и везде.
И так же дальше, дальше, "отдавая себе отчёт в каждом шаге" (© ewert).

[Tlalok]

У Вас ошибка при переводе оригинала системы в изображение:
Слагаемые $1\risingdotseq \frac{1}{s}$ и $3\risingdotseq \frac{3}{s}$

[yerzhik]

Tlalok в сообщении #430819 писал(а):

У Вас ошибка при переводе оригинала системы в изображение:
Слагаемые $1\risingdotseq \frac{1}{s}$ и $3\risingdotseq \frac{3}{s}$

Ой точно, спасибо, я на глаз так быстро взял и преобразовал не думая особо, пример хотел показать просто.

-- Ср апр 13, 2011 12:41:23 --

Всем большое спасибо, все понял!

-- Ср апр 13, 2011 12:42:33 --

Алексей К. в сообщении #430654 писал(а):

yerzhik в сообщении #430646 писал(а):

и в этой системе у нас коэффициенты константы .

А ещё у Вас бывали коэффициенты-параметры, вроде $a$. Решая "привычную" линейную систему, Вы делали эквивалентные преобразования над выражениями. Это всегда можно (ответ на вопрос "можно ли применять методы решения...").
Вот умножить первое уравнение на 2, слева и справа, естественно. Кто нам это запретит?
Вот умножим второе уравнение на s, слева и справа, естественно. Ну почему нельзя?
Ну сложим два получившихся уравнения. Если в изначальных была правда, то и в сумме их правда будет. Кто нам это запретит?
Теперь $y_2$ влево, остальное вправо. Причём тут какие-то методы, роды задач? Мы это делаем всегда и везде.
И так же дальше, дальше, "отдавая себе отчёт в каждом шаге" (© ewert).

Большое спасибо , все понял!