Не очень понятно, почему возникли такие трудности. Для иллюстрации и простоты писанины я буду использовать одномерные интегралы. Прежде всего, как мы намерены доказывать аналитичность

? Достаточно доказать оценку сверху для

-х касательных производных

равномерно по всем точкам сферы, с некоторыми

.
У нас имеется формальное представление

Опять же, формально дифференцируя, получим представление для

. Вся неприятность лишь в том, что под интегралом возникает "большая" особенность. Все было бы хорошо, если бы функция

и ее производные до нужного порядка обращались бы в этой точке в 0. Это сравнительно легко организовать.

Теперь уже ясно, что первый интеграл легко оценивается через

, а второй считается явно. Но даже с этим явным интегралом можно не возиться. Пусть

. Подберем какую-нибудь гармоническую функцию

так, чтобы

. Тогда

, и второе слагаемое уже легко оценивается через

. Теперь уже достаточно оценить производные для

.