Диффура

[obezyan]

Решая одну из задач (на нахождение допустимых экстремалей) пришел к такому уравнению:
$y'' + y = -3\sin(2x)$
Посмотрев старую тетрадку по диффурам, вспомнилось, что в общем-то это можно решить, воспользовавшись методом вариации произвольной постоянной, решив систему
$c_1'\cos(x) + c_2'\sin(x) = 0$
$-c_1'\sin(x) + c_2'\cos(x) = -3\sin(2x)$
Все бы хорошо, но решение сей системы достаточно затруднительно (много вычислений), в то время как задача не предполагает отводить много вычислений именно на это (соответственно и на экзамене будь такая задача - времени решать особо не будет).

Однако на практических занятиях, возникали лишь подобные уравнения, где справа стояло что-то навроде Ksin(x), что решалось достаточно просто и быстро - Yобщее = Yобщее_однородное + Yчастное_неоднородное. Бралось, что Yчастное_неоднородное = (acos(x) + bcos(x))x, подстановкой в исходное уравнение находились коэфициенты a, b.
Однако, ясно дело в данном случае этот вариант не прокатывает (справа sin(2x) и коэфициенты так не найти).
Собственно вопрос - какого вида надо брать Yчастное_неоднородное для такого случая? Или все таки только метод вариации произвольной постоянной проходит и такого упрощения задачи не получится?
Так же, сейчас увидел в других вариантах, что справа может стоять Ksh(x), либо в некоторых заданиях Kx.
И вообще интересен принцип, каким образом подбирать Yчастное_неоднородное.

[Lion]

obezyan писал(а):

...Однако на практических занятиях, возникали лишь подобные уравнения, где справа стояло что-то навроде Ksin(x), что решалось достаточно просто и быстро - Yобщее = Yобщее_однородное + Yчастное_неоднородное. Бралось, что Yчастное_неоднородное = (acos(x) + bcos(x))x, подстановкой в исходное уравнение находились коэфициенты a, b.
Однако, ясно дело в данном случае этот вариант не прокатывает (справа sin(2x) и коэфициенты так не найти).
Собственно вопрос - какого вида надо брать Yчастное_неоднородное для такого случая? Или все таки только метод вариации произвольной постоянной проходит и такого упрощения задачи не получится?

Правильно искать частное неоднородное решение данной задачи в виде $y_1=a\cos 2x+b\sin 2x$. А в общем случае частное решение для правой части вида $f(x)=e^{\alpha x}(P_{m_1}(x)\cos \beta x+Q_{m_2}(x)\sin\beta x)$ ищется в виде $y_1=x^k\cdot e^{\alpha x}(R_m(x)\cos \beta x+S_m(x)\sin \beta x)$, где $k$ --- кратность корня $\alpha +i\beta$ в однородном уравнении, а $m$ --- максимальная степень многочлена в неоднородной части.
P.S. В книге Арнольда "Обыкновенные дифференциальные уравнения" рассказано, как решать уравнение вида $y''+y=f(x)$, где $f(x)$ --- произвольная (хорошая) функция.

[obezyan]

Lion писал(а):

Правильно искать частное неоднородное решение данной задачи в виде $y_1=a\cos 2x+b\sin 2x$. А в общем случае частное решение для правой части вида $f(x)=e^{\alpha x}(P_{m_1}(x)\cos \beta x+Q_{m_2}(x)\sin\beta x)$ ищется в виде $y_1=x^k\cdot e^{\alpha x}(R_m(x)\cos \beta x+S_m(x)\sin \beta x)$, где $k$ --- кратность корня $\alpha +i\beta$ в однородном уравнении, а $m$ --- максимальная степень многочлена в неоднородной части.
функция.

А не могли бы Вы пояснить, как Вы из этого общего такое частное получили? Кратность ведь 1, а по вашему выходит что 0.. т.е как минимум должно бы быть

$$ x(a\cos 2x+b\sin 2x) $$

или я что-то неправильно понял?
Просто вариант

$$ x(a\cos 2x+b\sin 2x) $$

я попробовал.. коэфициенты a, b сразу не подобрались.. но если это правильно, то я еще попробую, более основательно..

[Brukvalub]

Число 2i не является корнем характеристического уравнения, поэтому его кратность, как корня хар. ур-ния равна 0.

[obezyan]

Всем спасибо, разобрался.

[obezyan]

при решении одного из заданий опять получилась диффура:
$3y''y' - y = 0$
граничные условия были $y(0) = 0$, $y(1) = 3$.
Решали его заменой $y' = p$. Пришли к интегралу:

$$ \int{\frac{1}{(y^2 + c)^{3/2}}dy} $$

А вот его взять не смогли.. Пробовали маткад - не решил..

Исходное задание было:
Найти допустимые экстремали функционала:

$$ f(y) = \int_0^1{(y'(x))^3+y^2(x)dx} $$

граничные условия: $y(0) = 0$, $y(1) = 3$.

[V.V.]

obezyan писал(а):

Пришли к интегралу:

$$ \int{\frac{1}{(y^2 + c)^{3/2}}dy} $$

А вот его взять не смогли.. Пробовали маткад - не решил..

Не пользуйтесь маткадом!

$$ \int{\frac{1}{(y^2 + c)^{3/2}}dy}=\frac{y}{c\sqrt{c+y^2}}+C_1$$

[Someone]

obezyan писал(а):

при решении одного из заданий опять получилась диффура:
3y''y' - y = 0
граничные условия были y(0) = 0, y(1) = 3.
Решали его заменой y' = p. Пришли к интегралу:

$$ \int{\frac{1}{(y^2 + c)^{3/2}}dy} $$

А вот его взять не смогли.. Пробовали маткад - не решил..

А Вы правильно интеграл написали? Если подставить в Ваше уравнение $y'=p(y)$, то $y''=p\frac{dp}{dy}$, и получаем уравнение $3p^2\frac{dp}{dy}=y$, откуда после разделения переменных и интегрирования получаем $p^3=\frac 12(y^2+C_1)$. Тогда $y'=\frac 1{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{y^2+C_1}$, и после разделения переменных с помощью программы Mathematica 4.1 получаем

$$x+C_2=\begin{cases}\sqrt[3]{2}\int\frac{dy}{\sqrt[3]{y^2+C_1}}=\sqrt[3]{\frac 2{C_1}}\cdot y\cdot{_2F_1\left(\frac 12,\frac 13;\frac 32;-\frac{y^2}{C_1}\right)}\text{ при }C_1\neq 0\text{,}\\3\sqrt[3]{2y}\text{ при }C_1=0\text{,}\end{cases}$$

где $_2F_1(a,b;c;z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n$ - гипергеометрическая функция. Здесь использовано обозначение

$$(a)_n=\frac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)}=\begin{cases}1\text{ при }n=0\text{,}\\ \prod\limits_{k=0}^{n-1}(a+k)\text{ при }n>0\text{.}\end{cases}$$

Радиус сходимости ряда в данном случае равен $\sqrt{|C_1|}$.

[RIP]

Замечу, что $y'^3=\frac{y^2}2+const$ можно найти и попроще(через интеграл энергии).

[obezyan]

Прошу прощения, Someone конечно же прав, при решении диффура:
3y''y'-y=0, y(0)=0, y(1)=3
Пришли к интегралу:
$\int\frac{dy}{\sqrt[3]{y^2+C_1}}$
и вот с этим интегралом вышла заминка, решение через гамма функции выглядит конечно круто, но нельзя ли попроще?

[RIP]

Ну, раз уж полезли гипергеометрические функции (которые $F$ с кучей нагромождений), то вряд ли можно попроще.

[obezyan]

Еще в одном из заданий возникло интересное уравнение:

$$ y y'' - (y')^4 + 1 = 0 $$

Пробовали решать через замену p = y', что хоть и упростило задачу, но не так сильно - получилось достаточно непростое само по себе уравнение, решая его и делая обратную замену получаем еще более сложное уравнение.
Тут собственно вопрос - есть ли более простые и быстрые способы его решения или только через такую замену?

[V.V.]

obezyan писал(а):

Еще в одном из заданий возникло интересное уравнение:

$$ y y'' - (y')^4 + 1 = 0 $$

Mathematica выдает весьма громоздкий ответ.

[Someone]

obezyan писал(а):

Еще в одном из заданий возникло интересное уравнение:

$$ y y'' - (y')^4 + 1 = 0 $$

Пробовали решать через замену p = y', что хоть и упростило задачу, но не так сильно - получилось достаточно непростое само по себе уравнение, решая его и делая обратную замену получаем еще более сложное уравнение.

Мне Mathematica 4.1 выдала решение, выраженное через функцию Аппеля:

$$x+C_2=\begin{cases}\pm y\text{ при }C_1=0\text{,}\\ \pm y\cdot F_1\left(\frac 14;\frac 12,-\frac 12;\frac 54;C_1y^4,-C_1y^4\right)\text{ при }C_1\neq 0\text{,}\end{cases}$$

где $F_1(a;b,c;d;x,y)=\sum\limits_{m,n=0}^{\infty}\frac{(a)_{m+n}(b)_m(c)_n}{(d)_{m+n}m!n!}x^my^n$.
Интервал сходимости двойного ряда в рассматриваемом случае - $|y|<\frac 1{\sqrt[4]{|C_1|}}$.