Упростить выражение номер 1.051 из Сканави

[Aero111]

Пытаюсь упростить следующее выражение из Сканави, которое идет под номером 1.051. Но что-то оно не решается. Возможно в учебнике допущена опечатка или появились проблемы на этапе сканирования книги в электронный вид. Может у кого-то есть список примеров из Сканави, в которых допущены ошибки, просьба поделиться.


Само выражение:

$\frac{4x(x+\sqrt{x^2-1})^2}{(x+\sqrt{x^2-1})^4-1}$

В ответе должно получится $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$


Моя попытка решения:

(Оффтоп)

Тут можно или попытаться возвести в квадрат выражение в числителе или разложить как разность квадратов знаменатель.


В числителе получится:

$4x(x+\sqrt{x^2-1})^2=4x(x^2+2x\sqrt{x^2-1}+x^2-1)=4x(2x^2+2x\sqrt{x^2-1}-1)$


В знаменателе получится:
$(x+\sqrt{x^2-1})^4-1 = ((x+\sqrt{x^2-1})^2)^2 - 1 = ((x+\sqrt{x^2-1})^2-1)((x+\sqrt{x^2-1})^2+1)$

Возводим в квадрат выражения в скобках:

$(x^2+2x\sqrt{x^2-1}+x^2-1-1)(x^2+2x\sqrt{x^2-1}+x^2-1+1)$


Приводим подобные:


$(2x^2+2x\sqrt{x^2-1}-2)(2x^2+2x\sqrt{x^2-1})$


Как видите, до сих пор не удается сократить выражение в числителе или знаменателе - нет одинаковых общих множителей.

В знаменателе остается только лишь раскрыть скобки:


$ 4x^4+4x^3\sqrt{x^2-1}+4x^3\sqrt{x^2-1}+4x^2(x^2-1)-4x^2-4x\sqrt{x^2-1} $


Раскрываем скобки, приводим подобные:
$ 4x^4-4x^2+8x^3\sqrt{x^2-1}+4x^4-4x^2-4x\sqrt{x^2-1} = 8x^4-8x^2+8x^3\sqrt{x^2-1}-4x\sqrt{x^2-1} $

Выносим за скобки 4x:
$ 4x(2x^3-2x+2x^2\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2-1}) $

Теперь можно разделить и числитель и знаменатель на $4x$

На этом месте уже ничего сделать нельзя со знаменателем. Подскажите, пожалуйста, как решить.

В электронном виде сборник Сканави, из которого взят этот пример, можно скачать здесь (12 мб) (открывать с помощью этой проги, сам пример номер 1.051 находится на 12 странице, а ответ на него можно посмотреть на 262 странице):
http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=335103

[Алексей К.]

Здесь, вопреки традиции, хочется избавиться от иррациональности в числителе, домножив верх и низ на $(x-\sqrt{x^2-1})^2$.

[Aero111]

Алексей К. в сообщении #433713 писал(а):

Здесь, вопреки традиции, хочется избавиться от иррациональности в числителе, домножив верх и низ на $(x-\sqrt{x^2-1})^2$.

Спасибо, получилось.

Тут надо было увидеть нестандартное решение.
Кстати, если кто-то знает книги или материалы посвященные упрощению подобных выражений, то интересно было бы посмотреть.

[Алексей К.]

Aero111 в сообщении #433731 писал(а):

Кстати, если кто-то знает книги или материалы посвященные упрощению подобных выражений,

Я никогда не видел книгу Сканави, из которой Вы решаете примеры, но теперь я думаю, что нужная книга уже у Вас в руках. Перерешав примеры, Вы увидите типичные приёмы и ситуации, и всему научитесь. Ну и в других задачника-учебниках такой же маленький кусочек на эту тему имеется. Может, кто-то лучше пояснил, кто-то хуже. Сканави снабжает группу задач некой пояснялкой?

[Aero111]

Минимальное объяснение у Сканави присутствует, в виде основных формул и нескольких примеров решения.

[Flooder]

Aero111

Aero111 в сообщении #433731 писал(а):

Кстати, если кто-то знает книги или материалы посвященные упрощению подобных выражений, то интересно было бы посмотреть.

Возможно, пригодится "Сканави М.И. (ред.) - Полный сборник решений задач для поступающих в вузы." (есть в сети).