вопрос про минимум\максимум на бесконечности

[oposum]

Вопрос такой: пусть известно, что функция положительна на положительной полупрямой, корректно ли писать "Пусть m-минимум этой функции на положительной полупрямой"? То есть смущает то, что не существует общих методов поиска минимума на положительной полупрямой.

[svv]

То, что общих методов поиска не существует, это не страшно. Пишут же, например, "пусть $x$ -- корень уравнения $f(x)=0$", даже если точно найти его невозможно.

А вот другая претензия: при всех Ваших условиях минимума может не существовать. Классический пример: чему равно минимальное значение функции $1/x$ при $x>0$?

Более хитрое понятие для Вашего случая -- точная нижняя грань = инфимум = $\operatorname{inf}$. Минимум обязан достигаться для какого-то $x$, инфимум не обязан. Инфимум $1/x$ на положительной полупрямой равен $0$. Он всегда существует, если функция ограничена снизу (например, положительна).

[oposum]

да, получается, что если функция положительна, то не факт, что мы ее сможем отделить от нуля какой-то константой
а нет каких-нибудь волшебных теорем на случай, когда функция является преобразованием Лапласа от некоторой функции?

[svv]

Боюсь, нет. Бросьте беглый взгляд на таблицу преобразований Лапласа, даже не самую подробную -- и Вы увидите массу примеров, когда $F(s)$, будучи положительной, стремится к нулю на бесконечности.