Разбиение евклидового пространства на части

[Xenia1996]

Трёхмерное евклидово пространство разбито на

а) 3

б) 4

непересекающихся подмножества.
При любом ли таком разбиении для каждого положительного вещественного $r$ непременно найдутся две точки на расстоянии $r$ друг от дружки, принадлежащие одному и тому же подмножеству?

Пункт а) очевиден, достаточно взять правильный тетраэдр со стороной $r$. По принципу Дирихле найдутся две точки среди вершин этого тетраэдра, принадлежащие одному подмножеству.
С пунктом б) у меня немножко непонятки. Подкиньте, пожалуйста, идейку. Заранее благодарна!

[svv]

Пусть мы хотим разбить пространство на 4 подмножества так, чтобы любые точки $A$ и $B$ ($|AB|=r$) принадлежали различным подмножествам.

Возьмём два одинаковых правильных тетраэдра со стороной $r$, приложим их друг к другу гранями (совместим грани) и склеим. То, что получилось, назовём "штуковина". У штуковины $5$ вершин, назовём их северный полюс ($N$), три экваториальных ($E1$, $E2$, $E3$) -- те, что на склеенных гранях, и южный полюс ($S$). $N$ и $S$ -- единственная пара вершин штуковины, расстояние между которыми не равно $r$.

Понятно, что $N$ и $S$ обязательно должны принадлежать одному подмножеству: если $N$ принадлежит $1$-му, то экваториальные -- $2$-му, $3$-му и $4$-му, тогда $S$ только $1$-му.

А теперь возьмём две штуковины, совместим их северными полюсами, а южные разведем на расстояние $r$. Между южными полюсами проскочит искра, и всё взорвётся.

[Xenia1996]

А у этой штуковины название, случайно, не "битетраэдр"?
А то мне тут написали...

[svv]

Ну, наверное, да... В этом мире, оказывается, почти для всего уже придуманы названия.

-- Вс апр 10, 2011 18:59:25 --

Кстати, а на том форуме можете написать:

Цитата:

А Ваш "битетраэдр" -- это, часом, не штуковина?