Упростить выражение номер 1.049 из Сканави

[Aero111]

Необходимо упроститить выражение из Сканави, которое идет под номером 1.049


В ответе должно получиться 16.



Выражение:


$\frac{(x^2 - y^2)(\sqrt[3]x + \sqrt[3]y)}{\sqrt[3]x^5 + \sqrt[3]{x^2y^2} - \sqrt[3]{x^2y^2} - \sqrt[3]{y^5}} - (\sqrt[3]{xy} +\sqrt[3]y^2; x=64. $



Моя попытка решения:

(Оффтоп)

Условно обозначим первую дробь как (1), а второе выражение как (2):
$\frac{(x^2 - y^2)(\sqrt[3]x + \sqrt[3]y)}{\sqrt[3]x^5 + \sqrt[3]{x^2y^2} - \sqrt[3]{x^2y^2} - \sqrt[3]{y^5}} - (\sqrt[3]{xy} +\sqrt[3]y^2) $


Из выражения (2) выносим за скобки $\sqrt[3]y$. Приводим к наименьшему общему знаменателю и отнимаем.:
$\frac{(x^2 - y^2)(\sqrt[3]x + \sqrt[3]y) - \sqrt[3]y(\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]y) (\sqrt[3]x^5 - \sqrt[3]{y^5})}{\sqrt[3]x^5 - \sqrt[3]{y^5}}$

В числителе выносим за скобки $(\sqrt[3]x + \sqrt[3]y)$:
$\frac{(\sqrt[3]x + \sqrt[3]y)(x^2 - y^2 - \sqrt[3]y(\sqrt[3]x^5 - \sqrt[3]{y^5})}{\sqrt[3]x^5 - \sqrt[3]{y^5}}$

Раскрываем скобку:
$\frac{(\sqrt[3]x + \sqrt[3]y)(x^2 - y^2 - \sqrt[3]{x^5y}+y^2)}{\sqrt[3]x^5 - \sqrt[3]{y^5}}$

Приводим подобные:

$\frac{(\sqrt[3]x + \sqrt[3]y)(x^2 - \sqrt[3]{x^5y})}{\sqrt[3]x^5 - \sqrt[3]{y^5}}$

Выносим за скобки $\sqrt[3]x^5$:

$\frac{(\sqrt[3]x + \sqrt[3]y)\sqrt[3]x^5(\sqrt[3]x - \sqrt[3]y)}{\sqrt[3]x^5 - \sqrt[3]{y^5}}$

Согласно свойству многочленов:
$\frac{\sqrt[3]x^5(\sqrt[3]x^2 - \sqrt[3]y^2)}{\sqrt[3]x^5 - \sqrt[3]{y^5}}$

На этом шаге я застряю и не знаю, что делать дальше. Прошу подсказать, как решить.

[gris]

У Вас не задан игрек. Значит, результат от него не зависит, и можно подставить ноль. И в ответе получим 16. Это, конечно, не есть решение.

[svv]

В книге ошибка. Чтобы убедиться, подставьте $y=8$ или $y=1$ (чтоб легко брался кубический корень), получится совсем не $16$.

Следует читать:
$\frac{(x^2 - y^2)(\sqrt[3]x + \sqrt[3]y)}{\sqrt[3]x^5 + \sqrt[3]{x^2 y^3} - \sqrt[3]{x^3 y^2} - \sqrt[3]{y^5}} - (\sqrt[3]{xy} +\sqrt[3]{y^2})$
Я просто нашел подбором на компьютере то минимальное исправление, при котором получается правильный ответ.
Иначе и непонятно -- зачем Сканави прибавляет и тут же отнимает одно и то же в знаменателе.
Кроме того, в таких выражениях получается хорошо, когда есть "баланс степеней": в знаменателе все слагаемые имеют степень $5/3$ (до исправления так не было), выражения 1 и 2 тоже имеют равную степень.

Совет: обозначьте $a=\sqrt[3]x$, $b=\sqrt[3]y$, будет гораздо легче:
$\frac{(a^6 - b^6)(a + b)}{a^5 + a^2 b^3 - a^3 b^2 - b^5} - (ab +b^2)=(a+b)\frac{a^6 - b^6 - b(a^5 + a^2 b^3 - a^3 b^2 - b^5)}{a^5 + a^2 b^3 - a^3 b^2 - b^5}=$
$=a(a+b)\frac{a^5 - a^4 b - a b^4 + a^2 b^3}{a^5 + a^2 b^3 - a^3 b^2 - b^5}=a(a+b)\frac {a(a^3+b^3)(a-b)}{(a^3+b^3)(a^2-b^2)}=...$
И так далее.

[Aero111]

gris в сообщении #433282 писал(а):

У Вас не задан игрек. Значит, результат от него не зависит, и можно подставить ноль. И в ответе получим 16. Это, конечно, не есть решение.

*mind_blown побробовал - получилось

svv в сообщении #433286 писал(а):

Я просто нашел подбором на компьютере то минимальное исправление, при котором получается правильный ответ.

А какой программой Вы искали исправление?

Спасибо за все подсказки - они очень ценны.

[svv]

наверное, моя фраза "нашел подбором на компьютере" воспринимается как "перебрал тысячи вариантов". Нет, я всего лишь написал на C++ программу, которая строит график для выражения 1.049 как функции $y$. И, пользуясь теми соображениями, что я привёл выше, перебрал вручную 4-5 вариантов, пока не нашел такой, при котором выражение от $y$ не зависит и при любом $y$ равно $16$. Ушло на это несколько минут.

Такое удобнее делать в каком-нибудь математическом пакете, но каждый привык к своим инструментам.