нахождение математического ожидания с.в.

[LynxGAV]

Rassmotrite $ \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-at^2} dt=I(a)=\sqrt{\frac{{\pi}}{a}}$, prodifferentsiruite $\frac{dI(a)}{da}=\int\limits_{-\infty}^{\infty} - t^2 e^{-at^2} dt=-\frac{1}{2}a^{-\frac{3}{2}}\sqrt{\pi}$. Vot i reshenie v odnu stroku.

[hicks]

Ну, да. Только вот $\sqrt{2\pi} * 2/ \sqrt{2\pi} = 2$, а должно быть 4...

[LynxGAV]

hicks писал(а):

Ну, да. Только вот $\sqrt{2\pi} * 2/ \sqrt{2\pi} = 2$, а должно быть 4...

Ya ne smotrela vichisleniya vseh uchastnikov. U Vas bil konkretniy vopros.

hicks писал(а):

Вот, что у меня получается, подскажите, пожалуйста, как вычислить этот интеграл.

$\frac {1} {\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} 2t^2 e^\frac {-t^2} {2} dt$

Vozmojniy sposob resheniya Vam podskazali dvajdi.

[Capella]

"Mathematica" даёт тоже

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} t^2 \cdot e^{-\frac {t^2} 2} dt = \sqrt {2 \pi}$$

А можно посмотреть, как Вы пришли к этому интегралу?

Добавлено спустя 4 минуты 14 секунд:

hicks писал(а):

К тому же, у Вас, в итоге, получается $\sqrt{2\pi}$, а должно быть 4, что легко проверить:

$e^\frac {-(x-a)^2} {2\sigma^2} = e^\frac {-(x+3)^2} {2*2^2} $

откуда $\sigma=2$, а дисперсия равна $\sigma^2$, и, след-но, получается 4.

А понятно, но в итоге у меня получается 2, а не

$$\sqrt {2\pi}$$

Дело в том, что константы были вынесены до интегрирования, поэтому корни сократятся..

[hicks]

Ах, я в том интеграле забыл скобки поставить... должно быть так:
$\frac {1} {\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} (2t)^2 e^{\frac {-t^2} {2}} dt$
Тогда получится правильно - 4

А интеграл я получил так:
$D=\int\limits_{-\infty}^{\infty} (x-M)^2 f(x) dx$
$D=\int\limits_{-\infty}^{\infty} (x+3)^2 \frac {1} {2\sqrt{2\pi}} e^{\frac {-(x+3)^2} {2*2^2}} dx$
И после замены переменной $t=\frac {x+3} {2}, dx=2dt$ получился тот интеграл.

И последнее, что меня интересует - это вероятность попадания СВ в интервал (0;3). По формуле получается это:
$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$
$\int\limits_{0}^{3} \frac {1} {\sqrt{8\pi}} e^{\frac {-(x+3)^2} {2*2^2}}}dx$
С ним-то, что делать?
PS. Не удивляйтесь, интегралы - это мой самый страшный кошмар...

[Capella]

Я делаю Вам полный расклад:

$$Var(X) = E(X- \mu)^2 = \frac 1 {\sigma \sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}$$

$$ \left(x - \mu \right)^2 e^{-\frac{(x-\mu)^2} {2\sigma^2}} dx$$

На этом месте я делаю сл подстановку:

$$ y = \frac{x - \mu} {\sigma} $$

Теперь возвожу в квадрат:

$$ y^2 = \frac {\left( x - \mu\right)^2} {\sigma^2} $$

Переношу сигму к игрику и делаю подстановку в интеграле:

$$Var(X) = E(X- \mu)^2 = \frac 1 {\sigma \sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}$$

$$ \left( y \cdot \sigma \right)^2 e^{-\frac{y^2} {2} dx$$

Выношу все константы и сокращаю сигму из знаменателя с квадратом в числителе. Окончательно:

$$\frac {\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}y^2 e^{-\frac{y^2} {2} }dx$$

Вообще остаётся не совсем понтно, как Вы нашли

$$2t^2$$

... Может-быть

$$\left( 2t \right) ^2 = 4 t^2$$

?

Добавлено спустя 53 секунды:

ok

Добавлено спустя 7 минут 15 секунд:

Прошу прощения, у меня не совсем правильно там, поскольку я копиравала уже все интегралы и забыла сделать подстановку для

$$dx$$

[hicks]

Большое спасибо Вам за труды, но с дисперсией я уже разобрался. Только попадание в интервал осталось...

[Capella]

С Вашим последним интегралом та-же история, НО Вам нужно будет изменить границы интегрирования. Там надо будет сделать сл подстановку:

$$ y = \frac {x + 3} 4$$

. Вам надо разрешить это относительно х (область определения) и подставить в границы интегрирования...

[hicks]

Вот чему, должна быть равна вероятность попадания в интервал:
$P(x_1<\xi<x_2)=\phi(x_2)-\phi(x_1)$
$\frac {1} {\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\frac{x_2-m} {\sigma}} e^{\frac{-t^2} {2}} dt - \frac {1} {\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\frac{x_1-m} {\sigma}} e^{\frac{-t^2} {2}} dt$
$\frac {1} {\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{3} e^{\frac{-t^2} {2}} dt - \frac {1} {\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{3/2} e^{\frac{-t^2} {2}} dt$
Но эти интегралы не берет даже Mathematica, что уж говорить обо мне... Я уже совсем запутался. Объясните, пожалуйста, как же это решается.

[PAV]

Эти интегралы не берутся, это известно. В любой книге по теории вероятностей в конце приводится таблица значений указанной функции, найденных численно. Интеграл до 3 равен $0.998650$, а интеграл до 1.5 равен $0.933193$. Разумеется, это приближенные значения.

[hicks]

Большое, Вам, спасибо!

[Capella]

hicks писал(а):

$\frac {1} {\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{3} e^{\frac{-t^2} {2}} dt - \frac {1} {\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{3/2} e^{\frac{-t^2} {2}} dt$
Но эти интегралы не берет даже Mathematica....

Берёт, берёт Но там есть фокус! Вы когда этот интеграл в Mathematica делаете, поставьте сразу после него вот такое обозначение:

 ... //N