Подобрать функцию

[ShMaxG]

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста подобрать такую функцию $\[x = x\left( t \right),{\text{ }}x\left( 0 \right) = x\left( 1 \right) = 0\] $, чтобы $\[\int\limits_0^1 {{{\left( {x'} \right)}^2}dt} - c\int\limits_0^1 {{x^2}dt} < 0\]$ при данном $\[c > 0\]$. Уже попробовал поиграться с параболками и синусами, но не получилось.

-- Вс апр 10, 2011 11:08:41 --

Впрочем, я уже сомневаюсь, что это возможно. Тогда как доказать, что $\[\int\limits_0^1 {{{\left( {x'} \right)}^2}dt} - c\int\limits_0^1 {{x^2}dt} > 0\] $ для любых $\[x = x\left( t \right),{\text{ }}x\left( 0 \right) = x\left( 1 \right) = 0\]$ при $\[c > 0\]$?

[Sonic86]

Константа подходит...

$$x= \left\{ \begin{array}{lll} kt, t \in [0;\epsilon] \\ k \epsilon, t \in [\epsilon;1-\epsilon] \\ k(1-t), t \in [1-\epsilon;1] \end{array} $$

при достаточно малом $k$ тоже подходит
Или я чего-то не понял?

[ewert]

Это возможно только при $c>\pi^2$. Да, смотреть надо синусы.

[gris]

.

[gris]

.

[gris]

А не подойдёт-ли корень большой степени из синуса(поджатого по икс), да ещё умноженного на 4, например. Ну типа от нуля функция резко поднимается вверх, потом идёт пологий участок, а потом резко вниз?

И где удаление сообщения?

[ИСН]

Что вы все несёте? Вариационное исчисление-то зачем, для красоты, что ли, на стенку повешено?

[ShMaxG]

Sonic86 в сообщении #433088 писал(а):

Константа подходит...

Я там забыл сказать, что следует искать не тривиальные случай, $\[x\]$ не тождественный ноль.
А еще такая функция должна быть минимум дважды дифференцируемой.

Генерально, я хочу доказать положительную определенность оператора $\[A = - \frac{{{d^2}}} {{d{t^2}}} - c\] $ на гильбертовом пространстве функций $\[x = x\left( t \right):\left\{ \begin{gathered} x\left( 0 \right) = 0 \hfill \\ x\left( 1 \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$, $\[t \in \left[ {0,1} \right]\]$. Если $\[c \leqslant 0\]$, то оператор является положительно определенным, а если не так, то как-то сложно...

[ewert]

Sonic86 в сообщении #433088 писал(а):

Константа подходит...

$$x= \left\{ \begin{array}{lll} kt, t \in [0;\epsilon] \\ k \epsilon, t \in [\epsilon;1-\epsilon] \\ k(1-t), t \in [1-\epsilon;1] \end{array} $$

при достаточно малом $k$ тоже подходит

Константа не подходит по граничным условиям. И $k$ тут совсем не при чём. А если её убрать, то интеграл от производной будет $2\varepsilon$, что с запасом больше, чем интеграл от самой функции, равный $\frac23\varepsilon^3+\varepsilon^2(1-2\varepsilon)$ (если ничего не напутал в деталях, но это неважно).

[ShMaxG]

ИСН в сообщении #433094 писал(а):

Вариационное исчисление-то зачем, для красоты, что ли, на стенку повешено?

Понял, ищем минимум функционала $\[\int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {x'} \right)}^2} - c{x^2}} \right]dt} \to \min \] $, уравнение Эйлера $\[\frac{d} {{dt}}\left( {2x' + 2xc} \right) = 0\]$, решение: $\[x\left( t \right) = B{e^{ - ct}} + \frac{A} {c}\] $, находим константы из граничных условий: и получаем, что функция икс тождественный ноль. Но это не означает, что это минимум, может быть и точкой перегиба. Смещаясь на допустимое приращение $\[h = h\left( t \right),h\left( 0 \right) = h\left( 1 \right) = 0\]$ приходим к исходной же задаче...

[ewert]

ShMaxG в сообщении #433095 писал(а):

А еще такая функция должна быть минимум дважды дифференцируемой.

Генерально, я хочу доказать положительную определенность оператора $A=-\frac{d^2}{dt^2}-c$

Вот это уже по существу. Этот оператор имеет чисто дискретный спектр, состоящий из собственных чисел $\lambda_k=\pi^2k^2-c,\ k=1,2,3,\ldots$ при соотв. собственных функциях $u_k(t)=\sin(\pi kt)$. Интеграл, которого Вы хотите, есть квадратичная форма этого оператора и, следовательно, не меньше $(\pi^2-c)\int\limits_0^1|x(t)|^2dt$, т.е. наименьшего собственного числа на квадрат нормы функции. Отсюда и выводы.

И, кстати, двукратная дифференцируемость не обязательна: квадратичная форма определена на всех функциях, имеющих квадратично интегрируемую первую (хотя бы обобщённую) производную, и для оценок этого вполне достаточно.

[ShMaxG]

ewert
Спасибо!