Вычислить определённый интеграл

[bundos]

$\int\limits_0^1\frac1{1+e^{\frac1x}}dx$
К сожалению, содержательных попыток продемонстрировать не могу, потому что ничего путного в голову не приходит...

[Everest]

Ну сделайте, например, так:домножьте на $e^{-x}$ и числитель и знаменатель, а потом $e^{-x}$ под дифференциал.

То есть

$\int\limits_0^1 \frac{1}{1+e^{-x}} dx=\int\limits_0^1 \frac{e^{-x}}{e^{-x}+e^{-2x}} dx=-\int\limits_0^1 \frac{d(e^{-x})}{e^{-x}+e^{-2x}}=-\int\limits_0^1 \frac{d(e^{-x})}{e^{-x}+e^{-2x}}$

Потом замену $e^{-x}=t$ и пересчитать пределы интергрирования. Собственно, дальше думаю сами :)

[--mS--]

Everest в сообщении #433067 писал(а):

$\int\limits_0^1 \frac{1}{1+e^{-x}} dx=$

Не тот интеграл, однако.

[Sonic86]

Заменой $\frac{1}{x}=t$ интеграл сводится к $\int\limits_{1}^{+ \infty} \frac{dt}{t^2(1+e^t)}$, его можно попробовать взять с помощью вычетов (контур: верхняя полуокружность + отрезки $[-R;-1], [1;R]$ и маленькая полуокружность $r=1, \text{Im}y>0$). Сумма вычетов даст ряд с известным значением.

-- Вс апр 10, 2011 11:20:39 --

... да, вроде все считается. Только это стрельба из пушки по воробьям, в крайнем случае. Но вроде как первообразная неэлементарна...