Функц.Последовательность - Равномерная сходимость

[ThisIzGame]

Здравствуйте, у мень возникло 2 вопроса по следующим примерам:
1) $F_n(x) = arctg (\frac{1-x^n}{1+x^n}$)$
иссл. на равномерную сходимость.
на (0;1/2) и (1/2;1)
2) $F_n(x) = n*(1-e^{x/n})$
на (0;1) и (1; +бесконечность)

Подскажите каким способом решить 1 пример, я знаю только то, что на первом интервале он сходимость равномерная а на 2ом не равномерная. Я пытался через достаточное условие показать, что $A_n$ член не стремится к нулю, но не получилось.
и во втором примере, на втором интервале я доказал, что сходимость не равномерная используя критерий Коши:
что существует E > 0, существует N, существую n,p > N такое что $|F_{n+p}(x) - F_{n}(x)| > E$
Далее пусть $n = N, p = 2N = 2n$ и $X_n = n$
тогда $|n(1-e^{n/n}| = |n(1-e^1)| >= |1-e| = E$
А с первым как быть?

[MaximVD]

2)Вы очень странно воспользовались критерием Коши. Как минимум, под модулем должна стоять разность двух членов, а не один член. Ещё вы не дописали в отрицании критерия Коши, что существует точка $x \in (1; +\infty)$ для которой выполнено неравенство.

При исследовании первого промежутка удобно взять первые два члена разложения $e^{x / n}$ в ряд Тейлора с остаточным членом, выраженным через вторую производную.

[ThisIzGame]

А если во 2ом примере (1ый интервал) попробовать так, правильно будет или нет. Используем достаточное условие, $|F_n(x) - F(x)| < A_n A_n -> 0$ при n -> бесконечности;
Сначала ищем F(x) (предел при n -> бесконечности)
$F(x) = lim( n * (1 - e^{x/n})) = lim (-n * (x/n))$
т.к. $e^x - 1$ ~ x при x -> 0 отсюда следует что F(x) = -x
=>
$|n*(1 - e^{x/n}) + x| \leqslant |-n*(x/n) + x| = |-x+x| = 0 $
$A_n -> 0$ => сходится равномерно Я прав?

[MaximVD]

Откуда получается такое неравенство

ThisIzGame в сообщении #432539 писал(а):

$|n*(1 - e^{x/n}) + x| \leqslant |-n*(x/n) + x| $

?

Давайте всё-таки воспользуемся формулой Тейлора. Обозначим $f(x) = e^{x / n}$. Пусть $x \in (0;1)$, тогда существует $\xi \in (0,1)$ ($\xi$ зависит от $x$) такое, что

$$ f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(\xi)}{2}x^2. $$

Подставляя вместо $f$ функцию $e^{x / n}$ получаем

$$ e^{x / n} = 1 + \dfrac x n + \dfrac{1}{n^2} e^{\xi / n}x^2, $$

теперь если подставить это выражение в

ThisIzGame в сообщении #432539 писал(а):

$|n*(1 - e^{x/n}) + x| \leq \ldots $

то можно очень легко воспользоваться указанным вами достаточным условием.

[ThisIzGame]

MaximVD спасибо, я понял, теперь подставляем в

$|n * (1 - e^{x/n} + x| \leqslant |n(1 - (1+x/n + x^2/n^2) + x)|$
т.к. $e^{\xi /n} = e^0 = 1 $ т.к. $\xi$ принадлежит (0;1)
$ |n(-x/n -x^2/n^2) + x| = |-x - x^2/n + x| = |-x^2/n| -> 0 $ при n -> бесконечности. Сходится равномерно. А на втором интервале, я так понимаю расходится поскольку x принадлежит (1;бесконечность)? Тогда мне там только Критерий Коши подредактировать надо будет...
Остается только первый пример:

[MaximVD]

Нет, немного неправильно. Всё-таки множитель $e^{\xi / n}$ следует оставить, ведь для любого $n \in \mathbb{N}$ и $\xi \in (0;1)$ будет $e^{\xi / n} > 1 = e^0$. Но, мы же знаем, что $\xi \in (0,1)$, поэтому $e^{\xi / n}$ очень легко оценить сверху. Точно также, следует оценить сверху и $x^2 / n$, тогда решение будет корректным.

На интервале $(1;+ \infty)$ так просто поступить уже не получится. Из интуитивный соображений, конечно, можно догадаться, что сходимость не будет равномерная, но это надо аккуратно доказать.

[ThisIzGame]

MaximVD спасибо, все разобрался. Насчет второго интервала, посмотрите пожалуйста, я набросал некоторое решение, чтобы доказать неравномерную сходимость используем Коши.
$F_n(x) = -x$ (из того, когда мы считали предел), следовательно
$|F_{n+p}(x) - F_n(x)| = |n(- \frac{x}{n} - \frac{x^2}{n^2}*e^{\xi/n}) + x|$.
Далее утверждаем пусть x = n;
$\ge|n(-1 - e^{\xi/n} + n| = |-ne^{\xi/n}|$
Если я правильно понимаю, т.к. мы взяли x = n => $\xi = n$
тогда получается $\ge e^1 = E$.
Хотя бы в целом идея правильная?

[MaximVD]

Я ошибся, когда выписывал формулу Тейлора. В третьем слагаемом забыл на 2 поделить, должно быть $\ldots + \frac{1}{2 n^2} e^{\xi / n}x^2$, хотя это не очень существенно.

Замечание на будущее: в формуле Тейлора (да и много где ещё) говорится, что для любого $x$ из некоторого множества существует $\xi$ из этого же множества, при котором справедлива формула. Так вот, мы про это $\xi$ совсем-совсем ничего не знаем, кроме того, что оно существует. Мы не знаем, какое оно?, чему равно? и т.д. Поэтому говорить, что $\xi$ чему-то равно мы не можем и надо выкручиваться как-то по-другому.

Выпишите аккуратно выражение для $|F_{n+p}(x) - F_n(x)|$ без использования формулы Тейлора и попробуйте его как-нибудь оценить снизу. А потом, если получится удачная оценка, то можно подобрать такое $x$, что можно будет воспользоваться критерием Коши (а точнее его отрицанием).

[ewert]

На $[0;1]$ (вообще на любом конечном промежутке) равномерность следует просто из теоремы Лагранжа:

$ne^{x/n}-n=(x-0)\cdot\big(ne^{x/n}\big)'_x\big|_{x=\theta}=x\cdot e^{\theta/n}\quad\Longrightarrow$

$\Longrightarrow\quad n(e^{x/n}-1)-x=x(e^{\theta/n}-1)\leqslant e^{1/n}\to0.$

Неравномерность на бесконечном промежутке банальна: при любом (в т.ч. сколь угодно большом) $n$ найдутся иксы, для которых $n(e^{x/n}-1)-x$ больше, например, единицы -- просто потому, что любая экспонента при $x\to+\infty$ растёт много быстрее самого $x$.

[ThisIzGame]

ewert - спасибо, со вторым примером я разобрался. Остался первый. Я тут решил, вроде бы правильно
Считаем $F_n(x) = lim(arctg (\frac {1-x^n}{1+x^n})) = lim( arctg 1) = \pi/4$
На $E_1$
$|arctg(\frac{1-x^n}{1+x^n}) - \pi/4| \le |arctg(\frac{1-(1/2)^n}{1+0}) - \pi/4| = |arctg 1 - \pi/4| = 0 $

$A_n -> 0 $ следовательно равномерно сходится.
На втором интервале применям признак Коши, чтобы показать неравномерность, не стал писать, правильно?

[ewert]

ThisIzGame в сообщении #432854 писал(а):

На $E_1$
$|arctg(\frac{1-x^n}{1+x^n}) - \pi/4| \le |arctg(\frac{1-(1/2)^n}{1+0}) - \pi/4| = |arctg 1 - \pi/4| = 0 $

$A_n -> 0 $ следовательно равномерно сходится.

Может, и было бы правильно, если б запись была хоть сколько-то осмысленной. Кто такой $A_n$?... и как это у Вас в левой части неравенства стоит положительное число, а в правой -- ноль?...

ThisIzGame в сообщении #432854 писал(а):

не стал писать, правильно?

С учётом предыдущего -- не уверен, что правильно не стали.

[ThisIzGame]

ewert
Если мы можем ограничить
$ |F_n(x) - F(x)| \le A_n $
и $A_n -> 0$ при n->бесконечности то сходимость равномерная.
Поэтому в первом случаем я ограничивал arctg, в числителе $1-x^n$ (вместо x подставляем 1/2) получается $1-(1/2)^n$
Тоже самое в знаменателе, далее получаем $arctg 1 - \pi/4$, а это есть $\pi/4 - \pi/4 = A_n $.Следовательно $A_n$ не зависит от n и равен нулю. Получается сходимость равномерная, не пойму почему не правильно?

И поправка, там где предел считал там не $F_n(x)$ а $F(x)$

[AD]

Не $arctg1$, а $\arctg1$
Не $2*2$, а $2\cdot2$
Пиши правильно!

[ewert]

ThisIzGame в сообщении #432897 писал(а):

Следовательно $A_n$ не зависит от n и равен нулю. Получается сходимость равномерная, не пойму почему не правильно?

Да потому что всё бессмысленно. Ну с какой стати Вы пишете там, что $\frac{1-(1/2)^n}{1+0}=1$?...