задачка по матричным уравнениям

[sasha_r]

пусть А и В квадратные матрици, докажите, что если $A^2 = AB$ и $B^2 = I+BA$ то $A=0$ ($I$- единичная матрица)
спасибо

[ИСН]

Ну это что, в сущности, такое. У Вас в руках гаечный ключ для семигранных гаек и ещё какая-то вообще непонятная железяка. Надо их крутить, тыкать, стучать ими друг об друга, прилаживать так и сяк - вдруг что-нибудь получится.
Например, что можно сказать про $B^3$?

[sasha_r]

Ну собственно я спрашивал совета , хотя-б направления... в том то и трудность, что нужно задействовать логику... а вы со своей биллетристикой. Кстати это конкретная задачка с экзамена...

[ИСН]

А я ведь дал совет. В последней строчке, вон он. И уже потом сам понял, что совет-то хороший.

[patzer2097]

sasha_r в сообщении #432701 писал(а):

пусть А и В квадратные матрици, докажите, что если $A^2 = AB$ и $B^2 = I+BA$ то $A=0$ ($I$- единичная матрица)
спасибо

Вычтя второе равенство из первого, покажите, что матрица $A-B$ обратима. Тогда требуемое будет просто следовать из первого равенства

[ИСН]

Или так, да.

-- Сб, 2011-04-09, 03:11 --

Хотя мой вариант чуть-чуть короче и не опирается на понятие обратимости.

[ewert]

Обратимость $B-A$ мгновенно следует из второго: $B(B-A)=I$.