Произведение целой и дробной частей

[Xenia1996]

$ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\dots $ - последовательность вещественных чисел, и для любого целого неотрицательного $k$ выполняется

$a_{k+1}=\left[a_{k}\right]\cdot\left\{a_{k}\right\}$ (квадратные скобки - целая часть, фигурные - дробная).

Верно ли, что существует такое число $ j $, что для каждого $ i\geq j $ выполняется $ a_{i+2}= a_{i} $?

[gris]

а что там за $n$?
Если это $k$, то не будет ли всё это дело сходиться к одним нулям?

[Xenia1996]

gris в сообщении #432080 писал(а):

а что там за $n$?
Если это $k$, то не будет ли всё это дело сходиться к одним нулям?

Ой, вместо $k$ написала $n$, сейчас исправлю.
Числа в последовательности не обязаны быть положительными, в этом весь прикол.

Исправила.

[Null]

Похоже что всегда. У нее либо убывает модуль целой части, либо она $=-(s+\frac{1}{s+2}), либо (при s=0) скачет вокруг него, либо (при s>0) отдаляется от него(пока целая часть не убудет).

[Руст]

Начиная с некоторого j $a_i=0,i>j$ или $a_i=\frac{-n^2}{n+1}, i>j$. Поэтому верно более сильное $a_{i+1}=a_i, i>j.$

[Null]

a_i=-0.4 - для него цикл 2.

[Руст]

Да. Я смотрел $[a_i]=-n, i>j$. Если $n<-1$ то $a_i=\frac{-n^2}{n+1}.$ В случае $n=-1$ для любой дробной доли цикл 2.