Задача Пифагора

[valent voron]

Батороев
Вы скопировали алгоритм у Цезаря:"пришел, увидел, победил"

[Equinoxe]

А есть какое-нибудь решение, как у sonic86? (его решение по-моему действительно с ошибкой, по крайней мере мне не получилось убедить вольфрама, что при таких A, B и C выражение C^2=A^2+AB+B^2 есть true, вместо этого он выводит условие, когда это так)

Я в этом, к сожалению, не разбираюсь (в эллиптических кривых, как и в кривых вообще), знаю только, что примерно также можно получить все решения пифагоровых троек в довольно простом виде.

Хорошая задачка :)

[vorvalm]

Батороев
Я извиняюсь за алгебру и алгоритмы, там все правильно, но я не могу найти ни одной
тройки А,В,С по вашим формулам. Предлагаемое уравнение относится к числу Диофантовых
второй степени и имеет целочисленные решения. Во времена Пифагора и Диофанта
отрицательные числа не использовались, а решения признавались только при взаимно
простых А,В,С. Так давайте не отступать от этих правил.
Под алгоритмом для этой задаче я имел в виду найти формулы для определения троек А,В,С
по типу пифагоровых.
Somic86 сразу понял и шел правильным путем, но почему-то сошел с дистанции.
Уместен и другой вариант, когда по известным первым тройкам находим остальные.

[age]

Начнём так. Очевидно, что каждое число $c=a^2+ab+b^2$ можно двумя способами представить
$\begin{cases}c=a^2+ab+b^2\\c=d^2-db+b^2\end{cases}$
тогда число $c^2$ можно представить максимум 4 способами, но два из них по идее должны совпасть, итого возможны две ветки решения.

[vorvalm]

age
Доведите до логического конца свои вычисления.

[age]

Батороев в сообщении #429088 писал(а):

Получаем одну ветвь решений:

$ (A-B)=\pm\dfrac{(A+B)^2-3}{2}$

Принимая одну переменную за параметр, решаем квадратное уравнение (то из полученных, которое имеет положительный дискриминант) относительно второй переменной:

$A^2+2A(B+1)+(B^2-2B-3)=0$

Получаем:

$ A_{1,2}=-(B+1)\pm2\sqrt{B+1}$.

Не, не так. Если мы получили $c^2=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2+3\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2$, или $c^2=m^2+3n^2$. То дальше лишь достаточно воспользоваться тождеством:
$(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=(ac\pm3bd)^2+3(ad\mp bc)^2$
и получить все необходимые ветви решений тупо умножая.

-- Чт апр 07, 2011 10:05:58 --

vorvalm в сообщении #432018 писал(а):

age
Доведите до логического конца свои вычисления.

Замените в предложенном тождестве $(c^2+3d^2)$ на $(a^2+3b^2)$, потом вернитесь к исходным переменным и получите все ветки решений.

[vorvalm]

age
Мне не нужны ветки. Найдите хоть одну тройку А,В,С по вашим формулам.

[Батороев]

vorvalm в сообщении #432006 писал(а):

Батороев
Я извиняюсь за алгебру и алгоритмы, там все правильно, но я не могу найти ни одной
тройки А,В,С по вашим формулам. от этих правил.

Например, берем $k=3$
$A=-3^2-2\cdot3=-15$
$B=3^2-1=8$

Получаем выражение в целых числах:
$(-15)^2+(-15)8+8^2=13^2$

Если Вас не устраивает такой вид, преобразуем, как посоветовал age:
$(-15+8)^2-(-15+8)\cdot 8+8^2=7^2+7\cdot 8+8^2=13^2$

[age]

topic18275-15.html (десятое сообщение Petern1 сверху, начиная со слов СУММА КУБОВ)

[vorvalm]

Батороев
Сколько раз можно повторять. Решение должно состоять из взаимно простых натуральных
чисел.

[Батороев]

vorvalm в сообщении #432025 писал(а):

Батороев
Сколько раз можно повторять. Решение должно состоять из взаимно простых натуральных
чисел.

7, 8, 13 - взаимнопростые числа... если только Вы определение и этих чисел уже не реформировали.

[vorvalm]

Батороев
К этой тройке у меня претензий нет.Но я вижу, что у вас А=-15?
И не надо сарказма.

[Батороев]

Сарказма никакого нет! Просто Вы невнимательно читаете мои посты.
Ниже записи в целых числах, среди которых было (-15), я написал, как получить выражение в натуральных числах, которые Вы просите.

-- 07 апр 2011 16:57 --

$A^2+AB+B^2= 7^2+7\cdot 8+8^2=13^2=C^2$
А тем числам, что были "дотого" присвойте индекс 1. Всех делов то.

[vorvalm]

Баротоев
Тогда приведите свои записи в порядок, чтобы было видно, где первая тройка, где вторая...

[Null]

Подходят:

$$ \left\{ \begin{array}{lll} A=q(3m^2-n^2-2mn) \\ B=q(4mn) \\ C=q(3m^2+n^2) \end{array} $$