Внешнее произведение (тензорная алгебра)

[NPcomplete]

Появилась пара вопросов по тензорной алгебре:

1. Кососимметрическая (alternating) тензорная алгебра изоморфна внешней. Зачем их тогда в литературе рассматривают раздельно и для дифференциальных форм используют именно внешнюю?
2. Почему внешнее произведение (wedge product) определяется как $w\wedge n = \frac{(k + m)!}{k!m!}\cdot Alt(w\otimes n)$? Интересует откуда взялся коэффициент с факториалами. То есть, я понимаю, что это число (k,m)-перетасовок, но почему используется именно оно мне непонятно.

[Leox]

1. В пространстве дифференциальных форм существуют специфические операторы, например оператор внешнего дифференцирования, которые очень удобно вычислять именно в такой записи.

2. В вашем учебнике наверное тогда оператор антисимметризации определяется как-то специфически.

[neo66]

1. По-моему, это одно и то же. Кто их рассматривает отдельно и где?

2. Можно определять внешнее произведение и без множителя. В разных книгах определяется по-разному. Это почти ни на что не влияет. Большинство формул вообще не меняется. Некоторое обсуждение этого вопроса можете посмотреть в книге Уорнера, Основы теории гладких многообразий и групп Ли,раздел 2.10.

[NPcomplete]

Цитата:

Кто их рассматривает отдельно и где?

Да много где встречал. Например John Lee в своей книжке (Introduction to Smooth Manifolds) изучает их по отдельности. Различие состоит в том, что по-разному определяется проектор: для кососимметрической алгебры это просто оператор альтернирования, а для внешней --- приведенная выше формула.

Цитата:

1. В пространстве дифференциальных форм существуют специфические операторы, например оператор внешнего дифференцирования, которые очень удобно вычислять именно в такой записи.

Хм. Ну там отличие только в множителе будет, вроде. Если да, то какая разница каким образом определять внешнее дифференцирование?

Цитата:

2. В вашем учебнике наверное тогда оператор антисимметризации определяется как-то специфически.

Ну я это определение из Википедии взял :)

[Leox]

Читая википедию образования не получите :) Советую учебник Кострикин, Манин, Линейная алгебра и геометрия, там ети вопросы хорошо изложены

[svv]

NPcomplete писал(а):

для кососимметрической алгебры это просто оператор альтернирования, а для внешней --- приведенная выше формула

Но это же совершенно непринципиальное различие. Нормировка.

[NPcomplete]

Цитата:

Читая википедию образования не получите :) Советую учебник Кострикин, Манин, Линейная алгебра и геометрия, там ети вопросы хорошо изложены

Ну почему же, английская Вики в вопросах математики вполне себе авторитетный источник. В любом случае, такая формулировка встречается много где. Кострикина-Манина, кстати, читал :)

Цитата:

Но это же совершенно непринципиальное различие. Нормировка.

Ну да, я, собственно, и спрашиваю зачем эта нормировка нужна.

У меня этот вопрос возник после того как я увидел следующую фразу:

Цитата:

Since Λ^k and A^k are isomorphic as vector spaces many treatments of multilinear algebra avoid mentioning Λ^k, reasoning that A^k is a perfectly good substitute for it and that one should, if possible, not make two different definitions for what is essentially the same object. This is a justifiable point of view (and is the point of view taken by Spivak and Munkres). There are, however, some advantages to distinguishing between A and Λ, as we’ll see in §5.

Правда в параграфе 5 я так и не увидел этих преимуществ.

-- Ср апр 06, 2011 12:43:33 --

Хм, посмотрел Уорнера, которого посоветовал neo66. Кажется понял: нормировка нужна для того, чтобы детерминант, определенный как эндоморфизм на старшей внешней степени V (полученный как пуллбэк линейного оператора A на V) совпадал со стандартной формулой для определителя A. А если вместо этого брать кососимметрическое произведение ($Alt(x\otimes y)$), то будет получаться не $det A$, а $\frac{1}{n!}det A$. Так?