Дифференциальное уравнение

[Sverest]

Проинтегрировать уравнение $2xy'+y=x$
$2x dy=(x-y)dx$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{2x}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}-\frac{y}{2x}~~~$

$~~~\frac{y}{x}=u~~~$

$~~~dy=xdu+udx$

$\frac{xdu+udx}{dx}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}u$

$xdu+udx-\frac{1}{2}dx+\frac{1}{2}udx=0~~~$

$~~~x(u-\frac12+\frac12 u) \neq 0$

$\frac {du}{u-\frac12+\frac12 u}+\frac{dx}{x}=0$

$\frac23 \ln {|\frac32 u+\frac12 |}+\ln {|x|}=\ln{|C|}$

$\frac23 \ln {|\frac32 \frac{y}{x}+\frac12 |}+\ln {|x|}=\ln{|C|}$

Я правильно решил?

[Someone]

Вообще-то, это уравнение можно было бы решать как линейное. А Вашу подстановку $y=ux$, если уж Вы её делаете, нужно было делать сразу, до всяких преобразований.
Замечаний два.

Sverest в сообщении #431636 писал(а):

$x(u-\frac 12+\frac 12u)\neq 0$

Ну, $x$ у нас независимая переменная, поэтому обычно нулю не равна. Что касается выражения в скобках, то оно вполне может быть нулём, и Вы теряете решение.

Sverest в сообщении #431636 писал(а):

$\frac{du}{u-\frac12+\frac 12u}+\frac{dx}x=0$

$\frac 23\ln|\frac 32u+\frac 12|+\ln|x|=\ln|C|$

А вот почему "$-$" превратился в "$+$"?

[Eiktyrnir]

Sverest в сообщении #431636 писал(а):

Проинтегрировать уравнение $2xy'+y=x$
$2x dy=(x-y)dx$
Я правильно решил?

допустим я сделал бы так
$2xy'+y=x$
$1)$ $2xy'+y=0$
$2)$ потом вариация единственной постоянной - так проще...

[Sverest]

Someone в сообщении #431648 писал(а):

Вообще-то, это уравнение можно было бы решать как линейное. А Вашу подстановку $y=ux$, если уж Вы её делаете, нужно было делать сразу, до всяких преобразований.
Замечаний два.

Sverest в сообщении #431636 писал(а):

$x(u-\frac 12+\frac 12u)\neq 0$

Ну, $x$ у нас независимая переменная, поэтому обычно нулю не равна. Что касается выражения в скобках, то оно вполне может быть нулём, и Вы теряете решение.

Sverest в сообщении #431636 писал(а):

$\frac{du}{u-\frac12+\frac 12u}+\frac{dx}x=0$

$\frac 23\ln|\frac 32u+\frac 12|+\ln|x|=\ln|C|$

А вот почему "$-$" превратился в "$+$"?

"$-$" превратился в "$+$" это ошибка по невнимательности, а как узнать я теряю решение при $u-\frac 12+\frac 12u=0$ или нет?

[Someone]

Sverest в сообщении #431652 писал(а):

как узнать я теряю решение при $u-\frac 12+\frac 12u=0$ или нет?

Решите это уравнение и посмотрите, получается ли это решение из общего.

[Sverest]

Someone в сообщении #431653 писал(а):

Sverest в сообщении #431652 писал(а):

как узнать я теряю решение при $u-\frac 12+\frac 12u=0$ или нет?

Решите это уравнение и посмотрите, получается ли это решение из общего.

Получается $u=-\frac13$, отсюда $y=-\frac13 x$, если это подставить в общее, то будет $\ln 0$, что нельзя допустить, следовательно $y=-\frac13 x$ особое решение, так?

[Someone]

Sverest в сообщении #431660 писал(а):

Получается $u=-\frac13$, отсюда $y=-\frac13 x$, если это подставить в общее, то будет $\ln 0$, что нельзя допустить, следовательно $y=-\frac13 x$ особое решение, так?

Не обязательно, это зависит от того, в какой форме записать общее решение.
Кроме того, Вы опять напутали со знаком.

Sverest в сообщении #431636 писал(а):

$\frac 23\ln|\frac 32\frac yx-\frac 12|+\ln {|x|}=\ln|C|$

$\ln|\frac yx-\frac 13|+\ln\frac 32+\frac 32\ln|x|=\frac 32\ln|C|$
$\ln|x|^{\frac 32}|\frac yx-\frac 13|=\ln\frac 23|C|^{\frac 32}$
$\sqrt{|x|}(y-\frac x3)=\pm\frac 23|C|^{\frac 32}$
Для удобства константу $\pm\frac 23|C|^{\frac 32}$ обозначим просто буквой $C$.
Общее решение получим в виде
$y=\frac x3+\frac C{\sqrt{|x|}}$.

[Sverest]

А вот в таком вот уравнении $y'+x^2 y-x^2=0$
$dy=-x^2(y-1)dx$ поделим на $y-1 \neq 0$

$\frac{dy}{y-1}=-x^2 dx$

$\ln{|y-1|}+\frac{x^3}{3}=C$ общее решение

Здесь $y=1$ уже будет особым решением, так как не входит в общее?

[ewert]

Sverest в сообщении #431677 писал(а):

Здесь $y=1$ уже будет особым решением, так как не входит в общее?

В нормальном режиме терминологий -- не будет.

У Вас там формально получается (после пересчёта решения и констант) $y=1+Ce^{-x^3/3}$, где постоянная $C$ -- любая, кроме нуля. И это как минимум должно вызывать естественное подозрение: а почему кроме нуля, собссно?... И эти подозрения оправдываются: вот этот самый ноль Вы и потеряли, чересчур легкомысленно разделив на $(y-1)$ и не сделав при этом соотв. оговорок.

[Someone]

Выражаем $y=1\pm e^{C-\frac{x^3}3}$, обозначаем $C_1=\pm e^C$, получаем $y=1+C_1e^{-\frac{x^3}3}$. Очень часто какое-нибудь решение не получается из общего не потому, что это решение особое, а потому, что общее решение записано в "неудачном" виде (и не всегда "удачный" вид существует). Определения особого и частного решения я формулировал в другой теме.
Например, для уравнения $y'=2\sqrt{y}$ решение $y=0$ будет особым.
Это уравнение имеет общее решение $y=(x+C)^2,\ x>-C$. Постройте графики решений для этого уравнения и для того, которое Вы решали в начале этой темы, и сравните.

P.S. Пока писал, ewert то же самое объяснил.

[Sverest]

ewert в сообщении #431686 писал(а):

Sverest в сообщении #431677 писал(а):

Здесь $y=1$ уже будет особым решением, так как не входит в общее?

В нормальном режиме терминологий -- не будет.

У Вас там формально получается (после пересчёта решения и констант) $y=1+Ce^{-x^3/3}$, где постоянная $C$ -- любая, кроме нуля. И это как минимум должно вызывать естественное подозрение: а почему кроме нуля, собссно?... И эти подозрения оправдываются: вот этот самый ноль Вы и потеряли, чересчур легкомысленно разделив на $(y-1)$ и не сделав при этом соотв. оговорок.

А как правильно надо было записать тогда?