Тройной интеграл

[Eiktyrnir]

spaits в сообщении #431592 писал(а):

$\sin \varphi=\frac12$; это Вам понятно.
Решите это тригонометрическое уравнение в пределах одного оборота радиуса. Ведь обе окружности пересекаются в двух точках, значит, значений угла должно быть два, надо их найти. Эти значения: $\varphi_1=\frac{\pi}4$ (это значение угла Вы нашли) и $\varphi_2=\frac{3\pi}4$.
Две точки пересечения окружностей, два значения угла поворота радиуса. Очень просто. Это область интегрирования. Нарисуйте область интегрирования в плоскости $xOy$. На Вашем черном рисунке вторая точка пересечения окружностей не видна. Первый рисунок вообще неверный (но с этим Вы разобрались).
Сможете написать тройной интеграл для вычисления объема?

Кажись вот что будет в плоскости $x0y$

Да интеграл тройной написать не проблема и подсчитать его тоже

$$V=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}d\varphi\int_{2}^{2\sqrt{2}sin{\varphi}}rdr\int_{0}^{r^2-4}dz$$

Но меня сейчас интересует только лишь одно $\frac{3\pi}{4}$... смотрю на окружности и понимаю пока что $\varphi$ меняется от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$

[spaits]

Eiktyrnir в сообщении #431629 писал(а):

Да интеграл тройной написать не проблема и подсчитать его тоже
Но меня сейчас интересует только лишь одно ... смотрю на окружности и понимаю пока что меняется от до

На рисунке Вы написали угол $\frac{\pi}4$ как раз там, где должно быть $\frac{3\pi}4$.
Заметьте, как направлены оси $x$ и $y$. Посмотрите на рисунок слева или поверните листок, чтобы ось $x$ была направлена влево.
Кроме того, окружность определяющая цилиндр, нарисована небрежно: окружность в плоскости $xOy$ ведь должна проходить через точку $(0;0)$.
Для наглядности зачерните область интегрирования (это правая луночка).
Пределы расставлены верно, берите тройной интеграл.

[spaits]

spaits в сообщении #431687 писал(а):

или поверните листок, чтобы ось была направлена влево.

Исправление ошибки.
... поверните листок, чтобы ось $x$ была направлена вправо.
Небольшая подсказка.
При взятии тройного интеграла сначала берёте степенные интегралы, это просто. Затем будет интеграл от тригонометрических функций в четвёртой степени, Вам надо преобразовать эти подынтегральные функции и постепенно довести степень до первой - получится подынтегральная функция $2+2\cos 4\varphi$. Ответ: $V=\pi$. Даю для сверки. Если есть вопросы, задавайте.
Чертёж для преподавателя начертите аккуратно, ошибки исправьте.

[Yu_K]

Ответ приведен правильный - только вот зачем мучить себя криволинейными координатами - мне проще вычислять объем в декартовых координатах.

[spaits]

Yu_K в сообщении #431701 писал(а):

Ответ приведен правильный - только вот зачем мучить себя криволинейными координатами - мне проще вычислять объем в декартовых координатах.

Можно и в декартовых.
Но если Вы получите навык перехода к полярным, цилиндрическим и другим координатам, то увидите, что интеграл при этом взять легче.

[Eiktyrnir]

spaits в сообщении #431695 писал(а):

spaits в сообщении #431687 писал(а):

или поверните листок, чтобы ось была направлена влево.

Исправление ошибки.
... поверните листок, чтобы ось $x$ была направлена вправо.
Небольшая подсказка.
При взятии тройного интеграла сначала берёте степенные интегралы, это просто. Затем будет интеграл от тригонометрических функций в четвёртой степени, Вам надо преобразовать эти подынтегральные функции и постепенно довести степень до первой - получится подынтегральная функция $2+2\cos 4\varphi$. Ответ: $V=\pi$. Даю для сверки. Если есть вопросы, задавайте.
Чертёж для преподавателя начертите аккуратно, ошибки исправьте.

Да вы правы. Вообщем я все понял теперь наконец. После того когда нарисовал в плоскости $x0y$ все стало предельно ясно. Спасибо ВСЕМ - за ПОМОЩЬ! Огромное-огрмоное, большое-пребольшое. Как всегда жму руку и снимаю шляпу.
Да

$$V=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}d\varphi\int_{2}^{2\sqrt{2}sin{\varphi}}rdr\int_{0}^{r^2-4}dz=\pi$$

Вообщем для компенсации своей безграмотности приложу рисунок из которого мне стало ясно про $\frac{3\pi}{4}$ - если кому-то будет также непонятно как и мне...

Еще раз спасибо всем.