нахождение математического ожидания с.в.

[hicks]

Дана плотность вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону. Нужно найти МО.

$f(x)= \frac {1} {\sqrt{8\pi}} e ^ {({-x ^ 2} -6x-9)/8$


Вот, что у меня получилось осле замены переменных $ t=\frac {x+3} {2}$, $dx=2dt$:
$M= \int_{-\infty}^{\infty} \frac {x} {\sqrt{2\pi}} e ^ {\frac {-t ^ 2} {2}} dt$

Первый вопрос - правильно ли я решаю?
И второй вопрос - как дальше решать этот интеграл?

[Capella]

Подсказка:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}e ^ {\frac {-t ^ 2} {2}} dt = \sqrt {2\pi}$$

[Brukvalub]

hicks писал(а):

Дана плотность вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону. Нужно найти МО.

$f(x)= \frac {1} {\sqrt{8\pi}} e ^ {({-x ^ 2} -6x-9)/8$


Вот, что у меня получилось осле замены переменных $ t=\frac {x+3} {2}$, $dx=2dt$:
$M= \int_{-\infty}^{\infty} \frac {x} {\sqrt{2\pi}} e ^ {\frac {-t ^ 2} {2}} dt$

Первый вопрос - правильно ли я решаю?
И второй вопрос - как дальше решать этот интеграл?

Странно, что в интеграле после замены есть обе переменные - старая х, и новая t - непорядок.

[Capella]

Brukvalub


Ну здесь то уже легко... Разрешаем $ t=\frac {x+3} {2}$ относительно $x$, выносим все константы и далее интегрируем по частям, hicks знает это наверняка.

[hicks]

Так, что ли, получается?

$ \frac {1} {\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} (2t-3) e ^ \frac {-t ^ 2} {2} dt$

$(2t-3) \sqrt{2 \pi} \left|_ {-\infty} ^ {\infty} - \int\limits_{-\infty} ^ {\infty} \sqrt {2 \pi} 2dt$

[Lion]

hicks писал(а):

Так, что ли, получается?
...$(2t-3) \sqrt{2 \pi} \left|_ {-\infty} ^ {\infty} - \int\limits_{-\infty} ^ {\infty} \sqrt {2 \pi} 2dt$

Разумеется, нет! Интересно, как Вы это получили?!

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

А-а-а, Вам же советовали проинтегрировать по частям... Нет, здесь нужно просто разбить интеграл на два и сделать в первом подходящую замену переменной.

[Capella]

мммм, нет... Формула для частичного интегрирования:

$$ \int x dy = xy - \int y dx$$

Да, там несходящаяся часть одна. Жаль, было-бы $x$ фнкция была-бы не чётной и интеграл был-бы равен 0.

Добавлено спустя 19 минут 55 секунд:

Нет, стойте, чего=то я тут сама пока запуталась...

Lion


Идея была в следующем, чтоь беря интеграл нечётной функции по всей $\mathbb{R}$ получаю 0 (понятно почему). Но я сейчас проверила с "Математика" и у меня с ней не сошлось на $\sqrt{2\pi}$

[Brukvalub]

Полученный Вами интеграл

Цитата:

$ \frac {1} {\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} (2t-3) e ^ \frac {-t ^ 2} {2} dt$

разлагается в разность двух $ \frac {1} {\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} 2t e ^ \frac {-t ^ 2} {2} dt$ и $ \frac {1} {\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} 3 e ^ \frac {-t ^ 2} {2} dt$ , первый из них равен нулю в силу нечетности подинтегральной функции, а минус второй дает известный из общей теории ответ -3.

[Capella]

Да нашла, я ошибку. В общем после того как разбить на разницу первая часть обнулить, поскольку $2x$ нечётная функция, из второй части надо вынести 3 за интеграл и проинтегрировать.

Добавлено спустя 45 секунд:

Brukvalub

Да! -3 если на сумму

[Kuzya]

У нормального закона МО равно параметру а: а=-3

[Capella]

Кстати, я вот ещё что вспомнила. Не надо считать никаких интегралов.

Идея в следующем: нормальное ожидание задаётся вот так - $N(\mu, \sigma^2)$, где $\mu$ есть матожидание ( второй параметр varianz (по русски вроде дисперсия?!), но он нас не интересует)
Теперь, есть общая формула для плотности Нормального распределения:
$f(x) = c\cdot e^{-\frac {(x-\mu)^2} {2\sigma^2}}$

$c$ это нормирующая константа и она должна быть выбрана так, чтобы интеграл по $\mathbb{R}$ был равен 1.

Теперь если сделать правильное разложение числителя у "е" в Вашем примере, то Вы можете получить мат ожидание не считая никаких интегралов:

$(x^2 + 6x + 9) = (x+3)^2 = (x - (-3))^2 = (x- \mu)^2$

[hicks]

Спасибо, Вам, с МО я разобрался. Если бы не нужно было считать интегралы, было бы совсем просто, но мне нужно именно через интегралы... Теперь вот еще дисперсию нужно посчитать. Вот, что у меня получается, подскажите, пожалуйста, как вычислить этот интеграл.

$\frac {1} {\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} 2t^2 e^\frac {-t^2} {2} dt$

[Capella]

Вот как-бы я сделала сам интеграл:

$$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} y^2 e^{-\frac {y^2} 2} dy = \int\limits_{-\infty}^{\infty} y \left( y e^{-\frac {y^2} 2} \right) dy = y \left(-e^{-\frac {y^2} 2} \right) + \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac {y^2} 2} dy $$

Левая часть суммы обнуляется, а вторая известно уже чему равна:

$$\sqrt {2\pi}$$

Добавлено спустя 5 минут 38 секунд:

Собственно вот ещё если только, что было использавоно:

$$ \left( e^{\frac {-y^2} 2 \right)' = - y \cdot e^{\frac {-y^2} 2$$

Добавлено спустя 8 минут 51 секунду:

и может быть ещё объяснить почему не разница (по формуле), а сумма получилась - вынесен минус за интеграл в правой части, это и дало сумму в итоге.

Ну и ещё я использовала "y" вместо "t"

[hicks]

Я, возможно, ничего не понимаю в математике, но куда же Вы дели $\frac {1} {\sqrt{2\pi}}$ и 2-ку перед $t^2$?

К тому же, у Вас, в итоге, получается $\sqrt{2\pi}$, а должно быть 4, что легко проверить:

$e^\frac {-(x-a)^2} {2\sigma^2} = e^\frac {-(x+3)^2} {2*2^2} $

откуда $\sigma=2$, а дисперсия равна $\sigma^2$, и, след-но, получается 4.

[Lion]

hicks писал(а):

Я, возможно, ничего не понимаю в математике, но куда же Вы дели $\frac {1} {\sqrt{2\pi}}$ и 2-ку перед $t^2$?

К тому же, у Вас, в итоге, получается $\sqrt{2\pi}$, а должно быть 4, что легко проверить:

$e^\frac {-(x-a)^2} {2\sigma^2} = e^\frac {-(x+3)^2} {2*2^2} $

откуда $\sigma=2$, а дисперсия равна $\sigma^2$, и, след-но, получается 4.

Для удобства константы $1/\sqrt{2\pi}$ и 2 были вынесены за знак интеграла. Просто нужно умножить полученный результат на $2/\sqrt{2\pi}$, и тогда все должно получиться правильно.