Уравнение в целых числах

[Sonic86]

Найти все решения уравнения в целых числах

$$c^2=a^6+b^6$$

[Null]

$ab=0$?

[Sonic86]

Null писал(а):

$ab=0$?

Ну да, я просто не могу доказательство нормальное найти

[age]

age в сообщении #410647 писал(а):

Возьмём более простое уравнение $x^3+y^3=z^2$. Оно имеет решения вида:
$64a^3(a^3-b^3)^3+b^3(8a^3+b^3)^3=(8a^6+20a^3b^3-b^6)^2$
(другие решения выписывать не буду, но все они должны быть аналогичны).
Тогда несложно видеть, для того, чтобы $y$ было точным квадратом, необходимо, чтобы $b=p^2$ и $8a^3+b^3=q^2$ (случай с $x$ аналогичен). Т.е. обычный метод бесконечного спуска, который показывает, что у такой параметризации таких решений нет.

[nnosipov]

age в сообщении #430891 писал(а):

age в сообщении #410647 писал(а):

Возьмём более простое уравнение $x^3+y^3=z^2$. Оно имеет решения вида:
$64a^3(a^3-b^3)^3+b^3(8a^3+b^3)^3=(8a^6+20a^3b^3-b^6)^2$
(другие решения выписывать не буду, но все они должны быть аналогичны).
Тогда несложно видеть, для того, чтобы $y$ было точным квадратом, необходимо, чтобы $b=p^2$ и $8a^3+b^3=q^2$ (случай с $x$ аналогичен). Т.е. обычный метод бесконечного спуска, который показывает, что у такой параметризации таких решений нет.

Сомневаюсь, что можно легко выписать все решения уравнения $x^3+y^3=z^2$ в целых числах (с чего вдруг "все они должны быть аналогичны" тому, что Вы указали?). Да и метод бесконечного спуска надо ещё суметь реализовать, обычно это совсем непросто.

[Null]

У меня к теореме ферма 3ей степепени свелось

[Sonic86]

Null писал(а):

У меня к теореме ферма 3ей степепени свелось

А я вот почему-то не смог (хотя брал из ВТФ(3)), и поэтому задача показалась интересной. Опять затупил... Тогда не очень интересно...

[age]

nnosipov
Рассмотрите формы $x^2\pm xy+y^2$. Любое произведение/частное от таких форм есть такая же форма. Вот отсюда и следует, что все решения аналогичны. А реализацию спуска я описал выше:

age в сообщении #430891 писал(а):

Тогда несложно видеть, для того, чтобы $y$ было точным квадратом, необходимо, чтобы $b=p^2$ и $8a^3+b^3=q^2$ (случай с $x$ аналогичен).

[nnosipov]

age в сообщении #430968 писал(а):

nnosipov
Рассмотрите формы $x^2\pm xy+y^2$. Любое произведение/частное от таких форм есть такая же форма. Вот отсюда и следует, что все решения аналогичны. А реализацию спуска я описал выше:

age в сообщении #430891 писал(а):

Тогда несложно видеть, для того, чтобы $y$ было точным квадратом, необходимо, чтобы $b=p^2$ и $8a^3+b^3=q^2$ (случай с $x$ аналогичен).

И это Вы считаете доказательством? Бред какой-то.

-- Пн апр 04, 2011 08:14:46 --

Null в сообщении #430938 писал(а):

У меня к теореме ферма 3ей степепени свелось

Не могли бы Вы подробно написать, как именно свелось? Задача не такая простая как кажется некоторым.

[Null]

$a,b,c$ - взаимно просты
$c=x^2+y^2$
$b^3=2xy$
$a^3=x^2-y^2$- нечетно
$x,y$- взаимно простые разной четности
$x-y,x+y$ - взаимно простые
$x-y=t^3,x+y=l^3$
$b^3=2xy$ значит
1.$x=4m^3$,$y=n^3$
$t^3+l^3=8m^3=(2m)^3$ - одно из них 0, откуда получим $ab=0$
2.$x=m^3$,$y=4n^3$
$l^3-t^3=(2y)^3$ - одно из них 0, откуда получим $ab=0$

[age]

nnosipov
Насчёт аналогичности, Вы правы, не разбирался во всех случаях. Не исключено, что возможны иные решения. Насчёт спуска: если $b$ является точным квадратом, $a$ является точным квадратом и $8a^3+b^3=q^2$, то мы имеем меньшую тройку $m^6+n^6=q^2$. Вот и весь спуск.

[nnosipov]

Null в сообщении #431035 писал(а):

$a,b,c$ - взаимно просты
$c=x^2+y^2$
$b^3=2xy$
$a^3=x^2-y^2$- нечетно
$x,y$- взаимно простые разной четности
$x-y,x+y$ - взаимно простые
$x-y=t^3,x+y=l^3$
$b^3=2xy$ значит
1.$x=4m^3$,$y=n^3$
$t^3+l^3=8m^3=(2m)^3$ - одно из них 0, откуда получим $ab=0$
2.$x=m^3$,$y=4n^3$
$l^3-t^3=(2y)^3$ - одно из них 0, откуда получим $ab=0$

Кажется, всё правильно. И действительно, совсем не сложно. Но задача, тем не менее, вполне интересная. Надо посмотреть у Серпинского ("250 задач по теории чисел" и другие его книги), вполне возможно, что она там есть.