x^3+y^2 делится на x^2+y^3

[Xenia1996]

Доказать, что существует бесконечно много пар различных натуральных чисел $x, y$ таких, что $x^3+y^2$ делится на $x^2+y^3$

[MrDindows]

$y=k^4+k^3+k+1 $
$x=k^5+k^4+k^2+k$

[Xenia1996]

MrDindows в сообщении #430587 писал(а):

$y=k^4+k^2+1 $
$x=k^5+k^3+k$

А вот мой вариант бесконечного семейства решений:

$x=n^2\cdot(n^3-1)-1, y=nx$

По-моему, почти как у Вас.

Вот примеры для первых нескольких n:

$\frac{27^2+54^3}{27^3+54^2}=7$
$\frac{233^2+699^3}{233^3+699^2}=26$
$\frac{1007^2+4028^3}{1007^3+4028^2}=63$

Красиво, правда?

[MrDindows]

Задача была толи на всеукре, толи на киевской где-то в 2006-2007ом
и на всеукр матбоях в этом году

[Xenia1996]

MrDindows в сообщении #430589 писал(а):

Задача была толи на всеукре, толи на киевской где-то в 2006-2007ом
и на всеукр матбоях в этом году

А вот где я её нашла:

http://www.nizworld.com/wp-content/uplo ... ad2008.pdf

Самая последняя там...

[MrDindows]

Исправил:
$y=k^4+k^3+k+1 $
$x=k^5+k^4+k^2+k$

[Xenia1996]

Да, я перепутала x и y, но, если честно, это - лишь технические детали, смысл сохранён.

Смысл задачи таков: сумма квадарта неизвестного и куба другого неизвестного кратна сумме куба неизвестного и квадрата другого неизвестного. Если поменять неизвестные месами, то кратность получится "в обратную сторону" - вместо 7, будет $\frac{1}{7}$, вместо 26 будет $\frac{1}{26}$ и т. д. Эдакий аналог знака модуля для частного. Мы же можем сказать о двух числах "модуль их разности". Скажем, модуль разности 2 и 5 равен 3, и не важно, в каком порядке они стоят. Вот, примерно что-то похожее и с частным можно замутить. Во всяком случае, для положительных чисел уж точно.

Назовём модулем Шейнерман положительного вещественного числа x само число x, если $x\ge 1$ и $\frac{1}{x}$ в противном случае.
Как Вам такое определение? Прокатит?