Интеграл (ТФКП)

[bundos]

Функция $f(z)$ аналитична в круге $|z|\leqslant1$ и $\int\limits_{0}^{2\pi}|f(e^{i\theta})|d\theta=1$. Пусть $k>-1$. Доказать, что $|\int\limits_{0}^{1}x^kf(x)dx|\leqslant\frac1{2}$ $k$-целое и $|\int\limits_{0}^{1}x^kf(x)dx|\leqslant\frac1{2|\sin\pi k|}$, $k$-нецелое

(Оффтоп)

Попытка: Для нецелого $k$:
$\int\limits_{C}z^kf(z)dz=\int\limits_{0}^{1}x^kf(x)dx- e^{2\pi ki}\int\limits_{0}^{1}x^kf(x)dx+\int\limits_{C_R}z^kf(z)dz+\int\limits_{C_r}z^kf(z)dz=0$ $\left| \int\limits_{0}^{1}x^kf(x)dx\right|\leqslant\frac{\left|\int\limits_{C_R}z^kf(z)dz\right|+\left|\int\limits_{C_r}z^kf(z)dz\right|}{\left|1-e^{2\pi ki}|}$
$\lim\limits_{r \to 0}\int\limits_{C_r}z^kf(z)dz=0$
$\left|\int\limits_{C_R}z^kf(z)dz\right|\leqslant\int\limits_{C_R}\left|z^kf(z)dz\right|=\int\limits_{0}^{2\pi}\left|f(e^{i\theta})}|d\theta$
$\left| \int\limits_{0}^{1}x^kf(x)dx\right|\leqslant\frac1{|1-e^{2\pi ki}|\frac{|2ie^{\pi k i}|}{|2ie^{\pi k i}|}}, \left| \int\limits_{0}^{1}x^kf(x)dx\right|\leqslant\frac1{2|\sin \pi k|} $
А что делать для целого $k$? Я когда интегрирую по отрезку от -1 до 1 и по полуокружности не получается найти как $f(x)$ и $f(-x)$ связаны? Или там это не нужно?

[sup]

А что бы Вы делали, если бы надо было найти интеграл от 0 до бесконечности? Ведь есть стандартный прием, аналогичный тому, что Вы с нецелым показателем применили.
Кстати, без потери общности можно считать, что $k=0$

[bundos]

sup
Всё равно неполучается... подскажите что за приём?

[sup]

Да все просто, используйте логарифм . После поворота вокруг 0, он приобретает довесок $2 \pi i$ (ну примерно как дробные степени приобретали множитель). Там, правда, Вас ждет ещё один сюрприз .

[bundos]

Вы имели в виду это:
Если расмотреть однозначную ветвь $\mathop\mathrm{Ln}(z)=\ln |z|+i\mathrm{Arg}(z)$ $\int\limits_{\Gamma}z^kf(z)\mathrm{Ln} zdz=-2\pi i\int\limits_{0}^{1}x^kf(x)dx+\int\limits_{|z|=1}z^kf(z)\mathrm{Ln} z dz=0$
$\left|\int\limits_{0}^{1}x^kf(x)dx\right|=\frac1{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}|f(e^{i\theta})|\theta d\theta$, а тут верхняя оценка 1.

[bundos]

Пробовал теорему о среднем применить, но всё равно получается $\frac1{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}|f(e^{i\theta})|\theta d\theta\leqslant1$, а нужно, чтобы $\leqslant\frac12$. Может я ошибся где-то?

[sup]

А это тот самый сюрприз, о котором я и говорил .
Но кое-что в запасе у нас есть. Обратите внимание на следующее обстоятельство.

Почему-то вклад точек с $Im (z)>0$ меньше, чем вклад точек с $Im (z)<0$ (вес разный). Казалось бы, а чем отличаются верх и низ? Ну ладно право/лево (интеграл от 0 до 1). Как бы эту "несправедливость" исправить?
Существует два подхода.
1. Разобраться с логарифмом, чтобы все было "хорошо".
2. Соображения симметрии. Очень мощное средство. Рассмотрите функцию $g(z)=\overline {f( \bar z)}$ и примените к ней свои рассуждения. Как это можно использовать?