Нижняя оценка для аппроксимации в базисе Хаара

[Юстас]

Пусть $0<\gamma<1$. Существует ли функция $f:[0,1]\mapsto \mathbb R$, такая что

$$ |f(x)-f(y)|\leq C_1|x-y|^{\gamma} $$

и существует $C_2>0$, такая что для любого $n$

$$ \|f-K_{2^n}(f,\cdot)\|_{L_2[0,1]}\geq C_2 2^{-\gamma n}, $$

где $K_{2^n}(f,x)$ есть $2^n$ - частичная сумма ряда Хаара для $f(x)$.
Буду благодарен за любые ссылки.
P.S. Для $\gamma=1$ очевидно подходит линейная функция. Для $\gamma<1$ видимо должно получаться нечто фрактальное.

[Vince Diesel]

А простые примеры типа $f(x)=x^\gamma$ не подходят?

[Юстас]

$f(x)=x^{\gamma}$ не подходит, т.к. она липшицева вне любой окрестности 0, поэтому будет оценка порядка $2^{-n}$. На самом деле, ваш пример можно модифицировать. Пусть $f(x)=\frac{x^{\gamma}}{1+x^2}$. Занумеруем рациональные точки $q_k$ на $[0,1]\cap \mathbb Q$ и рассмотрим $g(x):=\sum_k \frac{1}{2^k}f(2^k[q_k-x])$. Тогда показатель Гёльдера для $g$ будет в точности $\gamma$ в каждой рациональной точке. Но выполняется ли необходимая оценка снизу - мне не ясно.

[Vince Diesel]

Вот еще функция $f(x)=\sum_{n=1}^\infty 2^{-\gamma n} \sin 2^n \pi x\in C^\gamma([0,1])$, $\gamma\in(0,1)$. Как раз фрактальная И хорошо с периодичностью функций Хаара согласована.