2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Точка внутри тетраэдра
Сообщение01.04.2011, 00:09 
Внутри тетраэдра $ABCD$ (необязательно правильного) взяли точку $E$. Докажите, что:
$$\measuredangle ADB+\measuredangle ADC+\measuredangle CDB<\measuredangle AEB+\measuredangle AEC+\measuredangle CEB$$

 
 
 
 
Сообщение01.04.2011, 13:57 
Аватара пользователя
Задача легко сводится к следующей. Основания двух тетраэдров представляют собой треугольники с соответственно параллельными сторонами, один треугольник лежит внутри другого (не выступает за другой). Четвертая (верхняя) вершина у них общая. Доказать, что сумма углов при верхней вершине внутреннего тетраэдра меньше.

Эта задача решается так. Подвинем внутрь только одну сторону основания тетраэдра. Это приведёт к уменьшению суммы углов при вершине (а это следует из того, что сумма любых двух углов при вершине тетраэдра не меньше третьего угла; поэтому сумма двух противоположных углов при вершине пирамиды с выпуклым четырёхугольным основанием больше разности двух других углов).

 
 
 
 
Сообщение01.04.2011, 23:34 
Вроде всё правильно. Спасибо большое!

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group