помогите найти допустимые экстремали

[obezyan]

$$ f(y) = \int_{-1}^1 { [(y'(x))^3 + (y'(x))^2]dx } $$

y(-1) = -1; y(1) = 3

К сожалению, я точно не знаю, что значит найти допустимые экстремали, но судя по всему - это значит решить уравнение Эйлера. Для этого его сначала составляем:

$$ f(x,y,y') = (y')^3 + (y')^2 $$

$$\frac{df'}{dy'} = 3(y')^2 + 2y' $$

f не содержит x в явном виде, значит уравнение Эйлера составляем как

$$ f - y'\frac{df'}{dy'} = 0 $$

$$ (y')^3 - (y')^2 - y'(3(y')^2 + 2y') = 0 $$

$$ -2(y')^3 - 3(y')^2 = 0 $$

А вот дальше уже не так уверен в том, что делал (диффуры за 2 года уже успел подзабыть):

$$ (y')^2(-2y' - 3) = 0 $$

откуда выходит что:

$$ y' = 0 => y = c1 $$

либо:

$$ y' = -\frac{3}{2} => y=-\frac{3}{2}x + c2 $$

но подставляя оба граничных условия что в первое, что во второе решение, не получаем решения.
Как быть?
Может ли это значить, что нет допустимых экстремалей?

[Brukvalub]

Да, именно это и означает полученный Вами результат.

[RIP]

По-моему, уравнение Эйлера выглядит как-то так

$$\frac d{dx}(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}})-\frac{\partial f}{\partial y}=0$$

В данном случае оно переписывается в виде $\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}=const$, т.е. $\dot{y}=const.$
Или я неправ?

Добавлено спустя 14 минут 22 секунды:

Кстати, допустимая экстремаль - решение уравнения Эйлера гладкости $C^1$, удовлетворяющее граничным условиям $y(-1)=-1,y(1)=3$

Добавлено спустя 11 минут 3 секунды:

Кажется, то, что Вы выдали за уравнение Эйлера, называется интегралом энергии(это первый интеграл уравнения Эйлера) и он должен равняться не $0$, а константе.

[obezyan]

RIP писал(а):

По-моему, уравнение Эйлера выглядит как-то так

$$\frac d{dx}(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}})-\frac{\partial f}{\partial y}=0$$

В данном случае оно переписывается в виде $\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}=const$, т.е. $\dot{y}=const.$
Или я неправ?

Хм, если решать уравнение в исходном виде, не используя факт про "не содержание X в явном виде", то так и получается.. Вернее не совсем так - опять 2 решения получилось, одно из них - то что Вы и написали (y = c1*x + c2) и второе -

$$ y = -\frac{1}{3}x + c1$$

(если нигде не ошибся - еще не перепроверил толком), второе, в данном случае опять не подпадает под граничные условия.. А вот первое - подпадает..

Цитата:

Кажется, то, что Вы выдали за уравнение Эйлера, называется интегралом энергии(это первый интеграл уравнения Эйлера) и он должен равняться не $0$, а константе.

Хм... возможно так и есть, но я, увы, знаю обо всем об этом лишь с практических занятий, где и было сказано, что уравнение Эйлера переписывается указанным в исходном вопросе способом, если X не содержится в явном виде. Хотя исходное уравнение - да, выглядит так, как Вы и написали.
Решение уравнение в исходном виде оказывается проще, чем в таком, поэтому в типовой оно так и пойдет.. А вот почему получаются разные результаты - это я спрошу у преподавателя на консультации. Наверное, по той самой причине, что Вы и написали выше - должен равняться не 0, а константе..

[LynxGAV]

Cовершенно верно. Решать надо уравнение Лагранжа:

RIP писал(а):

$$\frac d{dx}(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}})-\frac{\partial f}{\partial y}=0$$

В данном случае оно переписывается в виде $\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}=const$.

После нахождения решения (если такое имеется) подставлять гран. условия.

Добавлено спустя 6 минут 13 секунд:

Re: помогите найти допустимые экстремали

obezyan писал(а):

f не содержит x в явном виде, значит уравнение Эйлера составляем как

$$ f - y'\frac{df'}{dy'} = 0 $$

Это не уравнение Лагранжа (или, если больше нравится, Эйлера), а первый интеграл (левая часть -- энергия со знаком минус). Зачем усложнять нотацию для $f'$ (и так понятно, что производная)?

Добавлено спустя 4 минуты 27 секунд:

obezyan писал(а):

Второе, в данном случае опять не подпадает под граничные условия.. А вот первое - подпадает..

Если не попадает, значит не экстремаль.

[Brukvalub]

RIP прав , а я- не прав: в Вашем случае уравнение Эйлера_Лагранжа выглядит так:

$$ f - y'\frac{df}{dy'} = c $$

[Imperator]

Так как подынтегральная функция зависит явно лишь от $y',$ то семейство экстремалей находится из такого дифференциального уравнения:
$y''(x)=0,$
то есть имеет вид
$y=c_{1}x+c_{2},$ где $c_{1}$ и $c_{2}$ - константы.
Воспользовавшись граничными условиями, получаем следующую СЛАУ для нахождения констант $c_{1}$ и $c_{2}:$ $\left\{ \begin{array}{l} -c_{1}+c_{2} = -1\\ c_{1}+c_{2}= 3, \end{array} \right$
откуда $c_{1}=2, c_{2}=1.$
Тогда допустимая экстремаль выглядит так:
$y=2x+1.$

[RIP]

Imperator писал(а):

Так как подынтегральная функция зависит явно лишь от $y',$ то семейство экстремалей находится из такого дифференциального уравнения:
$y''(x)=0,$

Для "учебных" задач это так, однако в общем случае это неверно. Из
$\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}=const$
вообще говоря, не следует $\dot{y}=const$.

[незваный гость]

RIP писал(а):

$\frac d{dx}(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}})-\frac{\partial f}{\partial y}=0$

Поскольку $f$ не зависит от $x$ и $y$, имеем: $\frac{\partial f}{\partial y}=0 \Rightarrow$ $\frac {\rm d}{{\rm d}x}(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}) = 0 \Rightarrow$ $ \frac{\partial f}{\partial\dot{y}} = {\rm const}$. В силу независимости $f$ от $x$ последняя производная полная $\frac{\partial f}{\partial\dot{y}} = \frac{{\rm d} f}{{\rm d} \dot{y}} = {\rm const}$. Что противоречит

Brukvalub писал(а):

$ f - y'\frac{df}{dy'} = c $

[LynxGAV]

RIP писал(а):

Для "учебных" задач это так, однако в общем случае это неверно. Из
$\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}=const$
вообще говоря, не следует $\dot{y}=const$.

Почему для "учебных"? Учебные задачи бывают разными. Это верно, если $\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}$ функция только $\dot{y}$.

Добавлено спустя 3 минуты 20 секунд:

Re: помогите найти допустимые экстремали

obezyan писал(а):

$$ f(y) = \int_{-1}^1 { [(y'(x))^3 + (y'(x))^2]dx } $$

И вообще должна быть функциональная запись $\mathcal{F}[y(x)]$.

[RIP]

LynxGAV писал(а):

RIP писал(а):

Для "учебных" задач это так, однако в общем случае это неверно. Из
$\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}=const$
вообще говоря, не следует $\dot{y}=const$.

Почему для "учебных"? Учебные задачи бывают разными. Это верно, если $\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}$ функция только $\dot{y}$.

В том-то и дело, что нет. Например, для $f=\dot{y}^3+|\dot{y}|^3$ уравнение

$$\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}=0$$

равносильно $\dot{y}\leqslant0$.

[LynxGAV]

Вы хорошо отличаете учебные задачи от не учебных .