Компактифицируем компакт (топология)

[Someone]

Хаусдорфова одноточечная компактификация $\alpha X$ хаусдорфова локально компактного пространства $X$ строится с помощью описанной мной конструкции, если в качестве семейства $\mathscr F$ взять семейство всех (автоматически замкнутых) компактных подмножеств пространства $X$, а в качестве $\mathscr U$ - семейство всех открытых подмножеств пространства $X$. Натуральный ряд $\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$ со стандартной для него топологией (то есть, с дискретной, в которой все подмножества $\mathbb N$ открыты, в том числе, и все одноточечные) является локально компактным пространством, так что к нему эта конструкция применима. Компактными подмножествами натурального ряда являются все конечные его подмножества (и только они), поэтому открытыми в $\alpha\mathbb N$ являются, во-первых, все подмножества $\mathbb N$, а во-вторых, дополнения (в $\alpha\mathbb N$) всех конечных подмножеств натурального ряда. Наглядным образом $\alpha\mathbb N$ является сходящаяся последовательность вместе со своим пределом (на числовой прямой, например, множество $\left{\{}0,\frac 1n:n\in\mathbb N\right{\}}$). Мне почему-то показалось, что Вы недостаточно отчётливо себе это представляете.

Теперь, если мы хотим получить хаусдорфову двухточечную компактификацию натурального ряда, мы можем разбить натуральный ряд на два дизъюнктных бесконечных подмножества $A$ и $B$, компактифицировать каждое из них одной точкой $a$ и $b$ ($a\neq b$) соответственно и взять дискретную сумму этих компактификаций. Как я понял, Вы это и имели в виду.
Если мы хотим получить две различных двухточечных компактификации, нам нужно взять два таких разбиения, причём, чтобы они "существенно" отличались (не получались друг из друга переносом конечного множества точек из $A$ в $B$ и обратно).

AlexDem в сообщении #428956 писал(а):

Можно, например, 2 через 2 точки брать - ничего вроде не испортится от этого, гомеоморфизма не будет. Или нужен существенно другой пример?

Нет, этот пример вполне удовлетворителен, если, конечно, я Вас правильно понял.

[AlexDem]

Someone в сообщении #428948 писал(а):

А чтобы хаусдорфовость не испортить?

Ну не знаю, может воспользоваться биекцией $\mathbb N \mapsto \mathbb Q^+$, вложить в $(0,\infty) \subset R$, добавить $0$ и $+\infty$ и вытащить обратно вместе с концами и индуцированной топологией?

Someone в сообщении #428966 писал(а):

Нет, этот пример вполне удовлетворителен, если, конечно, я Вас правильно понял.

Я имел в виду брать дополнения $\mathbb N \setminus \{x, x + 1\}$, но тогда ведь уже $x$ и $x+1$ будут склеиваться и хаусдорфовости не будет. Не вижу, какие окрестности их разделят...

[Someone]

AlexDem в сообщении #428969 писал(а):

Someone в сообщении #428948 писал(а):

А чтобы хаусдорфовость не испортить?

Ну не знаю, может воспользоваться биекцией $\mathbb N \mapsto \mathbb Q^+$, вложить в $(0,\infty) \subset R$, добавить $0$ и $+\infty$ и вытащить обратно вместе с концами и индуцированной топологией?

Господи, ну зачем такие страсти? Я же в предыдущем сообщении написал.

AlexDem в сообщении #428969 писал(а):

Someone в сообщении #428966 писал(а):

Нет, этот пример вполне удовлетворителен, если, конечно, я Вас правильно понял.

Я имел в виду брать дополнения $\mathbb N \setminus \{x, x + 1\}$, но тогда ведь уже $x$ и $x+1$ будут склеиваться и хаусдорфовости не будет. Не вижу, какие окрестности их разделят...

Тогда, значит, я о Вас слишком хорошо подумал. Внимательно разберите моё предыдущее сообщение.

Всё, что нужно - это разбить натуральный ряд на две подпоследовательности и каждую компактифицировать одной точкой. Существенно разные разбиения (отличающиеся на бесконечные множества) дают разные двухточечные компактификации.

На рисунке показаны две последовательности $A$ и $B$ натуральных чисел, сходящиеся к точкам $a$ и $b$ соответственно.
Я Вас понял так: одно разбиение - на множества $A=\{2k-1:k\in\mathbb N\}$ и $B=\{2k:k\in\mathbb N\}$, а другое - на множества $A'=\{4k-3,4k-2:k\in\mathbb N\}$ и $B'=\{4k-1,4k:k\in\mathbb N\}$.

[AlexDem]

Upd: А, разобрался с окрестностями, всё там в порядке...

Someone в сообщении #428975 писал(а):

Господи, ну зачем такие страсти? Я же в предыдущем сообщении написал.

Я прочитал Ваше сообщение полностью после того, как написал своё.

Someone в сообщении #428975 писал(а):

Внимательно разберите моё предыдущее сообщение.

Да, я уже понял ошибку - я недосмотрел, посчитал, что при пересечении получатся изолированные точки.

Someone в сообщении #428975 писал(а):

Я Вас понял так: одно разбиение - на множества $A=\{2k-1:k\in\mathbb N\}$ и $B=\{2k:k\in\mathbb N\}$, а другое - на множества $A'=\{4k-3,4k-2:k\in\mathbb N\}$ и $B'=\{4k-1,4k:k\in\mathbb N\}$.

Да, по чётным-нечётным и 2 через 2 - это то, что Вы записали. У меня не получалось просто дискретное пространство при удалении $a$ и $b$ - по причине ошибки, что указал выше.

-- Ср мар 30, 2011 03:31:42 --

Я, наверное, запутал записью $\mathbb N \setminus \{x, x + 1\}$ - это как бы локальная переменная, просто "текущее и следующее значение", а уж потом + 2. Программерские замашки

[AlexDem]

Someone в сообщении #428948 писал(а):

AlexDem в сообщении #428904 писал(а):
Я подумаю, не знаю пока, как подступиться...

Ограничьтесь построением двух расширений. И пространство $X$ попробуйте подобрать другое, чем в моём примере.

Что-то не в этом дело. Я не понимаю, как показать, что компактификации различны. Возьмём две: $\sin(\frac 1 x) \cup AB$ и $\sin(\frac 2 x) \cup AB$. Во втором случае сожмём плоскость по $Ox$ гомеоморфизмом $x' = x/2, y' = y$, после чего оба графика совпадут. То же преобразование отобразит исходный интервал $(0, 1]$ в гомеоморфный ему $(0, 1/2]$. Два тождественных случая.

[AlexDem]

А, как компактификации они будут отличаться разным составом окрестностей - после преобразования $x'=x/\omega,y'=y$ у нас полуинтервал $X$ становится подвижен справа, а график не растягивается для всех $\omega$ - очевидно, что меняется состав подмножеств всех компактификаций.

-- Ср мар 30, 2011 14:59:44 --

Нет, что-то я запутался.

Случай 1: $\omega = 1$
Интервал $(0, 1]$ отображается в $S1 = AB \cup sin \frac 1 x$, $x \in (0, 1]$

Случай 2: $\omega = 2$
Интервал $(0, 1/2]$ отображается в $S2 = AB \cup sin \frac 1 x$, $x \in (0, 1/2]$

Но $S1$ гомеомофно $S2$...

[AlexDem]

Не могу придумать, с помощью чего разглядеть разницу

[Someone]

Я напоминаю, что компактификация пространства $X$ - это не просто некоторое компактное пространство $vX$, а пара $(vX,i_v)$, где $i_v\colon x\to vX$ - вложение (гомеоморфизм) пространства $X$ на некоторое всюду плотное подпространство пространства $vX$.

Далее я ограничусь исключительно хаусдорфовыми компактификациями вполне регулярных пространств (я использую тот вариант терминологии, в котором полная регулярность предполагает аксиому отделимости $T_1$).

Пишем $(vX,i_v)\geqslant(wX,i_w)$, если существует непрерывное отображение $^v_w\varphi\colon vX\to wX$, удовлетворяющее условию $^v_w\varphi\,i_v=i_w$.

$$\xymatrix{&vX\ar[dd]^{^v_w\varphi}\\ X\ar[ru]^{i_v}\ar[rd]_{i_w}\\ &wX}$$

Отображение $^v_w\varphi$, если оно существует, является единственным, так как пространства $vX$ и $wX$ предполагаются хаусдорфовыми, а на всюду плотном множестве $i_vX$ оно однозначно определено услвием $^v_w\varphi\,i_v=i_w$.

Компактификации $(vX,i_v)$ и $(wX,i_w)$ называются эквивалентными, если одновременно $(vX,i_v)\geqslant(wX,i_w)$ и $(wX,i_w)\geqslant(vX,i_v)$.
Заметим, что для эквивалентных компактификаций отображения $^v_w\varphi$ и $^w_v\varphi$ являются взаимно обратными гомеоморфизмами.
Отношение "$\geqslant$" является отношением частичного порядка на множестве всех классов эквивалентности хаусдорфовых компактификаций пространства $X$.

Суть Вашей проблемы состоит в том, что из гомеоморфности пространств $vX$ и $wX$ не следует эвивалентность компактификаций $(vX,i_v)$ и $(wX,i_w)$.
Конкретно, гомеоморфизм $S1$ на $S2$ сдвигает точки простанства $X$. Обратите внимание, что всё время предполагается, что пространство $X$ - одно и то же для всех компактификаций. Именно одно и то же, а не просто гомеоморфные пространства. А у Вас в одном случае $X=(0,1]$, в другом - $X=(0,1/2]$...

[AlexDem]

Someone в сообщении #429309 писал(а):

Я напоминаю, что компактификация пространства $X$ - это не просто некоторое компактное пространство $vX$, а пара $(vX,i_v)$, где $i_v\colon x\to vX$ - вложение (гомеоморфизм) пространства $X$ на некоторое всюду плотное подпространство пространства $vX$.

То есть - когда растянули компактное пространство $vX$, то образ исходного пространства должен растянуться точно таким же образом, как если бы мы отображали $X$ напрямую в это растянутое пространство $wX$. После объяснения стало понятно.

Upd: Но если есть неотделимые точки $1$ и $2$, то наверное, некоторый произвол всё же допустим? Отобразить $1 \to 1'$ и $2 \to 2'$ или $1 \to 2'$ и $2 \to 1'$ - какая разница с точки зрения пространства?

По поводу исходной задачи: нам нужно, чтобы не было гомеоморфизма между компактификациями $S1 = AB \cup \sin \frac 1 x, x \in (0, 1]$ и $S2 = AB \cup \sin \frac 2 x, x \in (0, 1]$, при том, что гомеоморфизм отдельно между $AB$ и $AB$, $\sin \frac 1 x$ и $\sin \frac 2 x$ есть - в первом случае в силу тождественности, во втором - в силу того, что $X$ отображается на оба пространства гомеоморфно. Соответственно, добиться отличия $S1$ и $S2$ можно только за счёт новых окрестностей, образующихся при компактификации. Для этого у нас должен отличаться набор компактных замкнутых множеств в каждом случае. Но как этого добиться изменением топологии $X$ я не нашёл.

[Someone]

Похоже, Вы пытаетесь придумать что-то сложное. А там можно сделать совсем просто. Я предлагал в качестве $X$ взять не полуинтервал $(0,1]$, а другое пространство. Вот и давайте возьмём $X=(0,1)$ (интервал). Левый конец компактифицируем так же, как раньше (для определённости возьмём $\omega=1$). Что касается правого конца, то его вытянем вверх и налево и подклеим в одном случае к середине $O(0,0)$ отрезка $AB$ (эту компактификацию обозначим $v_0X$), а в другом - к концу $B(0,1)$ этого отрезка (эту компактификацию обозначим $v_1X$). Пространства $v_0X$ и $v_1X$ не гомеоморфны, так как в первом есть точка $O$, где сходятся три линии, а во втором такой точки нет. Поэтому эти компактификации также не эквивалентны. Но наросты у них одинаковые - отрезок $AB$.

[AlexDem]

Действительно, просто
Интервал я рассматривал тоже, но вот про склейку не подумал.