Компактифицируем компакт (топология)

[AlexDem]

Возьмём пространство - связное двоеточие из элементов $0$ и $1$, пусть его открытыми множествами будут:
$\emptyset$
$\{0\}$
$\{0,1\}$
Это компакт, поскольку пересечение центрированной системы его замкнутых множеств не пусто.

Компактифицируем по Александрову, добавив точку $2$:
$\emptyset$
$\{0\}$
$\{0,1\}$
$\{2\}$
$\{0,2\}$
$\{0,1,2\}$

Это ведь - другой компакт?

[Someone]

Конечно, другой, точек-то разное количество, и гомеоморфизма заведомо нет. Только определение топологии мне не нравится. Множество $\{2\}$ не может быть открытым, так как в этом случае она является изолированной точкой, и исходное пространство не является всюду плотным в этом "расширении", в то время как по определению расширения исходное пространство должно быть всюду плотным в расширении.

В общем случае, если $X$ - не компактное пространство, топология на одноточечном компактном расширении $X\cup\{*\}$ (где $*\notin X$) определяется так. Пусть $\mathscr F$ - семейство замкнутых компактных подмножеств пространства $X$, а $\mathscr U$ - семейство открытых подмножеств $X$, удовлетворяющие следующим условиям: 1) $\varnothing\in\mathscr F$, 2) если $F_1,F_2\in\mathscr F$, то $F_1\cup F_2\in\mathscr F$, 3) если $U\subset X$ открыто в $X$, и $X\setminus U$ не компактно, то $U\in\mathscr U$, 4) если $U_1,U_2\in\mathscr U$, то $U_1\cap U_2\in\mathscr U$, 5) семейство $\mathscr B=\{X\setminus F:F\in\mathscr F\}\cup\mathscr U$ является базой пространства $X$.

Тогда можно определить расширение $vX=X\cup\{*\}$, взяв в качестве базы семейство $\mathscr B_*=\{(X\cup\{*\})\setminus F:F\in\mathscr F\}\cup\mathscr U$.

Хаусдорфово одноточечное компактное расширение пространства $X$ существует тогда и только тогда, когда $X$ хаусдорфово и локально компактно, причём, такое расширение (если оно существует) является единственным (с точностью до гомеоморфизма, оставляющее точки $X$ неподвижными).

P.S. Я привык к такой терминологии, когда термин "компакт" означает хаусдорфово компактное пространство, в Ваших же примерах пространства не хаусдорфовы.

[AlexDem]

Someone в сообщении #428284 писал(а):

P.S. Я привык к такой терминологии, когда термин "компакт" означает хаусдорфово компактное пространство, в Ваших же примерах пространства не хаусдорфовы.

Ой, да - я термин перепутал, по-видимому
Остальное посмотрю завтра, на один день уезжаю, уже пора...
Спасибо.

[Профессор Снэйп]

AlexDem в сообщении #428279 писал(а):

Это компакт, поскольку пересечение центрированной системы его замкнутых множеств не пусто.

А меня всегда учили, что компакт --- это когда из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие. В этом плане обоснование компактности конечного пространства выглядит странно. Конечные топологические пространства компактны всегда, независимо от того, как задана топология.

[Someone]

Someone в сообщении #428284 писал(а):

Пусть $\mathscr F$ - семейство замкнутых компактных подмножеств пространства $X$, а $\mathscr U$ - семейство открытых подмножеств $X$, удовлетворяющие следующим условиям: 1) $\varnothing\in\mathscr F$, 2) если $F_1,F_2\in\mathscr F$, то $F_1\cup F_2\in\mathscr F$, 3) если $U\subset X$ открыто в $X$, и $X\setminus U$ не компактно, то $U\in\mathscr U$, 4) если $U_1,U_2\in\mathscr U$, то $U_1\cap U_2\in\mathscr U$, 5) семейство $\mathscr B=\{X\setminus F:F\in\mathscr F\}\cup\mathscr U$ является базой пространства $X$.

В три часа ночи надо спать, а не теоремы по топологии формулировать.
Минимальные требования к семействам $\mathscr F$ и $\mathscr U$ в случае, если $X$ не компактно, следующие.
1) $\varnothing\in\mathscr F$.
2) Семейство $\mathscr B=\{X\setminus F:F\in\mathscr F\}\cup\mathscr U$ является предбазой пространства $X$.
В случае компактного $X$ нужно дополнительно требовать, чтобы выполнялось следующее условие.
3) Если $B\subseteq\mathscr F$ конечно, то $\bigcup\{F:F\in B\}\neq X$.
Тогда семейство $\mathscr B_*=\{(X\cup\{*\})\setminus F:F\in\mathscr F\}\cup\mathscr U$ принимается в качестве предбазы пространства $vX=X\cup\{*\}$. Заметим, что разные пары семейств $\mathscr F$ и $\mathscr U$ могут давать одно и то же одноточечное компактное расширение.

Если $X=\{0,1\}$ - связное двоеточие, в котором открыты множества $\varnothing$, $\{0\}$, $X$, то замкнуты в нём, соответственно, $X$, $\{1\}$, $\varnothing$. Условие 3) запрещает включать в $\mathscr F$ множество $X$, а условие 1) требует включить $\varnothing$, поэтому для $\mathscr F$ возможны два варианта: $\mathscr F_1=\{\varnothing\}$ или $\mathscr F_2=\{\varnothing,\{1\}\}$. В семейство $\mathscr U$ нет смысла включать $\varnothing$, поэтому получаем 4 варианта: $\mathscr U_1=\varnothing$, $\mathscr U_2=\{\{0\}\}$, $\mathscr U_3=\{X\}$, $\mathscr U_4=\{\{0\},X\}$.
Так как множество $\{0\}$ не является пересечением каких-либо других открытых подмножеств $X$, условие 2) требует, чтобы либо $\mathscr F$ содержало $\{1\}$, либо $\mathscr U$ содержало $\{0\}$, поэтому допустимы следующие сочетания:
а) $\mathscr F_1$ и $\mathscr U_2$;
б) $\mathscr F_1$ и $\mathscr U_4$;
в) $\mathscr F_2$ и $\mathscr U_1$;
г) $\mathscr F_2$ и $\mathscr U_2$;
д) $\mathscr F_2$ и $\mathscr U_3$;
е) $\mathscr F_2$ и $\mathscr U_4$.
Во всех случаях $\mathscr B=\{X,\{0\}\}$.
Теперь рассмотрим одноточечное расширение $Y=\{0,1,2\}$. Выпишем семейства $\mathscr B_*$ для этих случаев.
а) $\mathscr B_*=\{Y,\{0\}\}$;
б) $\mathscr B_*=\{Y,\{0\},X\}$;
в) $\mathscr B_*=\{Y,\{0,2\}\}$;
г) $\mathscr B_*=\{Y,\{0,2\},\{0\}\}$;
д) $\mathscr B_*=\{Y,\{0,2\},X\}$;
е) $\mathscr B_*=\{Y,\{0,2\},\{0\},X\}$.
Для перехода к базе нужно построить всевозможные (непустые) пересечения конечных наборов элементов семейства $\mathscr B_*$. Легко видеть, что семейства а), б), в), г) и е) замкнуты относительно пересечений, а семейство д) даёт дополнительно множество $\{0,2\}\cap X=\{0\}$, и в результате получается то же самое, что и в случае е). Для получения топологии (семейства всех открытых подмножеств) пространства $Y$ нужно построить объединения всевозможных подсемейств базы (включая пустое подсемейство). Легко видеть, что в результате к семействам $\mathscr B_*$ в пунктах а), б), в), г) и е) добавляется только пустое множество. Как верно заметил Профессор Снэйп, любое конечное топологическое пространство компактно, поэтому проверять компактность не требуется.

Таким образом, существует 5 различных одноточечных компактификаций связного двоеточия (которое компактно и само по себе). Заметим, что пространства, получающиеся в пунктах б) и г), гомеоморфны сами по себе, но не гомеоморфны как компактификации пространства $X$.

[AlexDem]

Профессор Снэйп, на самом-то деле правильное определение компактного пространства - через последовательности, каждая из которых в нём имеет предельную точку (Келли на с.183 пишет, что это потом уже теорема Гейне-Бореля-Лебега стала определением). В этом смысле интересно дискретное пространство - там одноточечные множества открыты, поэтому не могут содержать других точек последовательности и не могут быть предельными. Как тут быть, если число точек конечно?

Вообще, мне был интересен бесконечный пример, но придумался только конечный, да и то...

[maxmatem]

Профессор Снэйп

Цитата:

А меня всегда учили, что компакт --- это когда из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Сформулированное вами определение в книгах трактуется, как определение компактного пространства.А вот если добавить условие хаусдорфовости, то получим определение компакта.
Наверное это просто буквоедство....или кто как привык (просто к выше указанному определению я больше привык )

[Someone]

AlexDem в сообщении #428509 писал(а):

на самом-то деле правильное определение компактного пространства - через последовательности, каждая из которых в нём имеет предельную точку

Терминология со временем меняется, и книга Дж.Л.Келли в этом отношении определённо устарела. Лучше ориентироваться на Р.Энгелькинга.

[AlexDem]

Наверное... Просто я пока в Бурбаки не залез тогда - не мог понять, на основании какой интуиции было взято определение через конечное подпокрытие.

[maxmatem]

Цитата:

на самом-то деле правильное определение компактного пространства - через последовательности, каждая из которых в нём имеет предельную точку

Цитата:

это когда из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Очень часто в учебниках, предлагается упражнение в котором нужно доказать эквивалентность этих определений.

[AlexDem]

Someone в сообщении #428496 писал(а):

Таким образом, существует 5 различных одноточечных компактификаций связного двоеточия (которое компактно и само по себе).

Сижу, туплю... А разве возможны различные компактификации с одинаковым наростом? Почему в $\mathscr U$ мы набираем подмножества почти произвольно, да и в $\mathscr F$ - разве выбор компактных подмножеств произволен? И в примерах а), в) по-моему нет гомеоморфизма подпространства с $X$.

[Someone]

AlexDem в сообщении #428793 писал(а):

А разве возможны различные компактификации с одинаковым наростом?

В нехаусдорфовом случае ничего удивительного в этом не вижу. Если же говорить именно о хаусдорфовых компактификациях, причём, именно об одноточечной компактификации, каковая существует только у локально компактных хаусдорфовых пространств, то таковая, конечно, единственна.
Если же нарост содержит больше одной точки, то он и в хаусдорфовом случае может быть одинаковым у разных компактификаций. Я приведу пример с компактификациями полуинтервала $X=(0,1]$. Эти компактификации изобразим на плоскости с декартовой системой координат $Oxy$. Компактификация $v_{\omega}X$ представляет собой объединение графика функции $y=\sin\frac{\omega}x$, $0<x\leqslant 1$, и отрезка оси $Oy$, ограниченного точками $A (0,-1)$ и $B(0,1)$, где $\omega>0$ - некоторое число. $X$ отождествим с полуинтервалом оси $Ox$ между точками $O(0,0)$ и $C(1,0)$ (включая $C$ и не включая $O$), а вложение $i_{\omega}\colon X\to v_{\omega}X$ - это проекция указанного полуинтервала на график по формуле $i_{\omega}x=(x,\sin\frac{\omega}x)$.
Эти компактификации, соответствующие различным $\omega$, различны, хотя и гомеоморфны, если рассматривать их просто как топологические пространства, а не как компактификации полуинтервала $X$. Попробуйте усовершенствовать этот пример так, чтобы и этого гомеоморфизма не было.
Сами попробуйте придумать пример двух различных двухточечных компактификаций натурального ряда.

AlexDem в сообщении #428793 писал(а):

Почему в $\mathscr U$ мы набираем подмножества почти произвольно, да и в $\mathscr F$ - разве выбор компактных подмножеств произволен?

Ну, не совсем произволен, однако произвол весьма велик, если только мы не горим желанием получить что-нибудь "хорошее".

AlexDem в сообщении #428793 писал(а):

И в примерах а), в) по-моему нет гомеоморфизма подпространства с $X$.

Да выбросьте точку $2$, и Вы увидите $X$. Во всех пяти случаях.

[AlexDem]

Someone в сообщении #428822 писал(а):

Да выбросьте точку $2$, и Вы увидите $X$.

Уже попадался на этом, но опять упустил, что окрестности нужно резать при взятии подпространства.

Someone в сообщении #428822 писал(а):

Сами попробуйте придумать пример двух различных двухточечных компактификаций натурального ряда.

Можно включить одну точку $a$ в дополнения $\mathbb N \setminus x$ для чётных точек, другую $b$ - для нечётных. Можно их обе сразу включить в дополнения всех точек. Конечные пересечения открытых множеств не сделают эти точки изолированными. Любая последовательность будет часто встречаться с каждой окрестностью точек $a$, $b$ или $ab$, поэтому они будут предельными точками для любой последовательности. Во втором случае любая последовательность будет сходиться к двум точкам одновременно. В первом последовательности не обязательно будут сходиться, но если будут - то только к одной из точек.

Upd: (подразумевается, что во все объединения и конечные пересечения множеств $\mathbb N \setminus x$ точки $a$ и $b$ тоже добавляются).

Someone в сообщении #428822 писал(а):

Попробуйте усовершенствовать этот пример так, чтобы и этого гомеоморфизма не было.

Я подумаю, не знаю пока, как подступиться...

[Someone]

AlexDem в сообщении #428904 писал(а):

Во втором случае любая последовательность будет сходиться к двум точкам одновременно.

А чтобы хаусдорфовость не испортить?

AlexDem в сообщении #428904 писал(а):

Я подумаю, не знаю пока, как подступиться...

Ограничьтесь построением двух расширений. И пространство $X$ попробуйте подобрать другое, чем в моём примере.

[AlexDem]

<удалено>

Ещё если натуральный ряд считать дискретным пространством, то нужно как-то выкидывать одноточечные окрестности.