Канторово множество, неизмеримость по Жордану

[KirS]

Здравствуйте!
Хочу доказать, что можество Кантора $F$ отрезка $[0;1]$ неизмеримо по Жордану.

Рассмотрим дополнение к нему $F'=[0;1]\backslash F$. Докажем, что это множество не является измеримым по Жордану, а следовательно и множество Кантора тоже.

Вычислим верхнюю меру $F'$. Если $E$ - некоторое элементарное множество, такое что $F' \subset E \subset [0;1]$, то
$\mu(E) \geq \frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\ldots = 1 - \frac{2^n}{3^{n+1}}$ для любого $n$.
Поэтому $\mu (E) \geq 1$ и $\bar{\mu} (E) = 1$.

Теперь нижнюю меру. Если $G\subset F'$, то $\mu(G) \leq \frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\ldots \frac{2^{m-1}}{3^m} = 1 - \frac{2^m}{3^{m+1}} < 1 $. То есть каждое элементарное, содержащееся в $F'$ имеет меру меньше единицы. Но когда мы перейдем к супремуму равенство ведь может стать нестрогим? Как с этим поступить или как иначе показать, что нижняя мера строго меньше верхней?

[id]

А вы уверены, что обычное множество Кантора (с мерой Лебега $0$) неизмеримо по Жордану?
Другое дело, что можно построить нигде не плотное совершенное подмножество $[0,1]$ с мерой Лебега больше нуля, и вот оно уже не будет измеримо по Жордану.

[KirS]

Если честно, то не не уверен. Но эту задачу я взял из задачника, хотя, конечно, там может быть и ошибка.

[Someone]

В задачнике прямо предлагается взять именно это множество Кантора? Не какое-нибудь другое?
Как точно сформулирована задача?

[KirS]

Точная формулировка:
"Доказать, что можество Кантора $F$ отрезка $[0;1]$ неизмеримо по Жордану"
задачник - Городецкий В.В. "Методы решения задач по функциональному анализу"


P.S.
Да, Канторово множество там определяется как обычно - через удаление из $[0;1]$ средних интервалов

[mihailm]

Канторово множество измеримо по Жордану,
для всякого е найдется конечное покрытие общей длины меньше е

[Padawan]

Для замкнутого множества внешняя мера Жордана равна мере Лебега. Для открытого множества внутренняя мера Жордана равна мере Лебега.

[KirS]

Padawan в сообщении #429002 писал(а):

Для замкнутого множества внешняя мера Жордана равна мере Лебега. Для открытого множества внутренняя мера Жордана равна мере Лебега.

тогда получается, что у множества Кантора на $[0;1]$ внутренняя и внешняя меры совпадают, следовательно оно измеримо.

[Padawan]

Получается, что так.

[KirS]

Спасибо!