Чайниковская задачка из теории групп

[Portnov]

Думается, задачка простая и давно известная, но вот что-то не решается. И не знаю, в какую книжку посмотреть.

Пусть $\mathbb{R}^*$ — мультипликативная группа из всех действительных чисел, кроме нуля; $\mathbb{Q}^*$ — аналогичная группа из рациональных чисел. Вопрос: что из себя представляет фактор-группа $\mathbb{R}^*/\mathbb{Q}^*$?

Эта фактор-группа состоит из классов эквивалентности; два действительных числа $x$ и $y$ (оба не нули) попадут в один класс, если $x/y\in\mathbb{Q}^*$. Понятно, что все рациональные числа окажутся в одном классе, т.к. отношение рациональных чисел рационально. А вот с иррациональными… бывают числа, которые окажутся в одном классе (ну например, $\pi$ и $2\pi$), а бывают такие, которые окажутся в разных (например, $\pi$ и $\sqrt{2}$). Понятно, что если $a,b\in\mathbb{Q}^*$, и $z$ — иррациональное число, то числа $az$ и $bz$ окажутся в одном классе. Отсюда хочется сказать, что классов «столько же» (есть изоморфизм какой-то), сколько иррациональных чисел; но это, видимо, не совсем так…

Можете подсказать, куда дальше копать? Хорошо бы книжку; книжки по теории групп у меня есть, но такого примера что-то не встретил.

[Sonic86]

Так вроде бы $\mathbb{R}$ несчетно, а $\mathbb{Q}$ счетно, значит классов - несчетное число.
Или нет? Это я про мощность...

[Portnov]

Я согласен с таким рассуждением, спасибо. Это мы оценили мощность основного множества искомой группы. А как группа она что из себя представляет? Можно ли сказать, например, что она изоморфна $\mathbb{R}$ или там ещё чему-нибудь более известному?

[Sonic86]

Не, я не знаю.
Даже если $\mathbb{R}^*$ заменить на $\mathbb{A}^*$ - группу алгебраических чисел по умножению, то $\mathbb{A}^*/\mathbb{Q}^*$ тоже представляет их себя нечто не очень понятное... - группа классов алгебраических чисел, у которых старший коэффициент свободен от $n$-х степеней, где $n$ - порядок алгебраического числа...

[caxap]

(Мнение студента)

Portnov в сообщении #428610 писал(а):

Отсюда хочется сказать, что классов «столько же» (есть изоморфизм какой-то), сколько иррациональных чисел

$\mathbb R^*/\mathbb Q^*\simeq (\mathbb I\cup \{1\},\odot)$, где $\alpha\odot\beta :=\begin{cases}\alpha\beta,\ \alpha\beta\in \mathbb I\\1,\text{ иначе}\end{cases}$

[BapuK]

caxap, разве справа группа?(обратными элементами, например, для $\sqrt{2}$ тогда будут являться как $2\sqrt{2}$, так и сам $\sqrt{2}$)
если я правильно понимаю, что $\mathbb{I}$ - множество иррациональных чисел

[caxap]

BapuK
Ага, извиняюсь . Беру своё сообщение назад.

[Portnov]

Догадался до следующего (вполне тривиального, т.к. по сути есть в любой книжке по теории групп) рассуждения. Чтобы «найти» искомую группу, надо подобрать какую-нибудь группу $X$ и гомоморфизм $\varphi: \mathbb{R}^* \to X$ такой, чтобы $\mathrm{Ker}\,\varphi = \mathbb{Q}^*$. Эта группа $X$ будет изоморфна искомой. Только вот что-то дальше ничего не придумывается :/

[bot]

Вы ищете фактор-группу среди знакомых Вам объетов и не получается. Ну, тогда надо просто включить эту фактор-группу в множество знакомых Вам объектов и перестать мучиться.

[Профессор Снэйп]

Так они же абелевы, эти группы!

Вообще фактор получается довольно сложный. Будут элементы любого конечного порядка, будут и бесконечного...

[AV_77]

Вроде $\mathbb{R}^* / \mathbb{Q}^*$ полная. Тогда все просто получается.

[muzeum]

Если я не ошибаюсь, ислледуемая группа есть прямое произведение двухэлементной группы $Z_2$ и делимой группы без кручения, изоморфной группе вещественных чисел по сложению $R$.
Группа рациональных чисел по умножению также является прямым произведением $Z_2=\{-1,1\}$ и положительных рациональных чисел по умножению. Таким образом, исследуемый фактор изоморфен факторгруппе мультипликативной группы положительных вещественных чисел по подгруппе рациональных положительных чисел.
Дополним группу $Q^+$ корнями всех степеней из простых натуральных чисел и породим делимую подгруппу без кручения, которую обозначим $Q^*$.
И так, мы имеем группу $R$, которую можно считать векторным пространством размерности континуум над полем рациональных чисел, в ней подгруппу $Q^*$, которую можно считать подпространством, значит она выделяется как прямое слагаемое, счетной размерности.
Группа $Q^*$ является свободной абелевой группой (в качестве образующих выступают простые числа). Фактор-группа группы $Q^*$ является прямой суммой счетного числа периодических групп $T=Q/Z$ (здесь группы Q и Z берутся по сложению).
Окончательно получаем прямую сумму полной группы без кручения, изморфной группе $R$ и счетной периодической части, являющейся прямой суммой групп $T=Q/Z$.