Уравнение теплопроводности с нелинейными краевыми условиями

[sup]

(Оффтоп)

Даже и в мыслях не было кого-то запугивать

Подводя итог, можно сказать, что все там будет нормально, если нелинейность липшицева. В этом случае единственность "подходящего" решения гарантирована. Да и локальная разрешимость тоже. Для глобальной разрешимости достаточно, чтобы выполнялось неравенство $f(z)z \leqslant Cz^2, \forall z \in R$. Если же у нелинейности имеются разрывы, то с единственностью могут быть проблемы. Для иллюстрации можно рассмотреть пример
$u_t=sign(u), u(0)=0$.
У этой задачи есть два решения ($u(t)=t$ и $u(t)=-t$), которые "живут" на разных берегах разрыва. Может так статься, что и для нашего уравнения возможна такая ситуация.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #428300 писал(а):

Подводя итог, можно сказать, что все там будет нормально, если нелинейность липшицева. В этом случае единственность "подходящего" решения гарантирована. Да и локальная разрешимость тоже

и никаких условий на рост нелиненейности не надо?

[sup]

Для локальной разрешимости "глобальное" поведение $f$ не важно. Ситуация аналогична теореме Пеано для ОДУ. Здесь главное получить оценки на границе. Забудем про вырождение и рассмотрим чистое уравнение теплопроводности с условием Дирихле в 0. Сначала мы вместо $f$ используем срезку $\bar f$ и получим разрешимость соответствующей задачи. Затем, умножим ур-е на $u_t$ и проинтегрируем. Получится нечто навроде
$\|u_t\|^2_{L_2(Q)}+\|u_x\|^2_{L_{\infty}(0,T,L_2(0,R))} \leq C + C\int \limits_{0}^{T}{\bar f}^2(u)dt \leq C_1 + C_2\int \limits_{0}^{T}u^2dt$
После этого лемма Гронуолла. Левая часть гарантирует непрерывность $u(R,t)$. Поэтому на малом интервале по $t$ $u$ мало отличается от начальных данных, а значит $\bar f(u) = f(u)$. Вот и локальная разрешимость.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #428324 писал(а):

Поэтому на малом интервале по $t$ $u$ мало отличается от начальных данных, а значит $\bar f(u) = f(u)$.

Будем надеяться, что начальное условие у ТС достаточно регулярно

[sup]

Ну да ... Затея в том, чтобы на границе была непрерывность. Для этого нужна "повышенная" гладкость. Но, в принципе, ничего сверхъестественного, просто регулярное решение $u_t, u_{xx} \in L_2(Q), u \in L_{\infty}(0,T; W_2^1(0,R))$. А вот если просто обобщенное решение, тогда нужны какие-то условия на $f$.
.............................................................
Я там в оценке изрядно накосячил, но, к счастью, не принципиально. Там появится краевой интеграл вида
$\int \limits_0^T u_t (R,t) \bar f(u(R,t))dt = C+F(u(R,T))$, где $F$ - это первообразная от $\bar f$. Можно считать, что $|F(z)| \leq C(1+z^2)$. А вот после этого уже имеем
$u^2(R,T) \leq \varepsilon \int \limits_0^R u_x^2dx +C(\varepsilon)\int \limits_0^R u^2dx \leq \varepsilon \int \limits_0^R u_x^2dx +\mu \int \limits_Q u_t^2dx +C(\varepsilon,\mu)\int \limits_Q u_x^2dx $

[uxikar]

Ох елки-ж-палки! Я рад, что задача так Вас заинтересовала)
Еще бы неплохо было самому разобраться)

sup, я согласен, у меня были мысли, а почему в нуле, а не в другой точке?? ведь везде внутри источников нет, физически все равноправно, а центр выделили и то что это условие учитываем, чтобы избежать неограниченного роста концентрации в центре - это как-то понял сразу. А почему мне не понравилось, когда это условие исчезло в обычных координатах.. просто по аналогии со стержнем я считал, что должно быть два условия. Ну это не от большого ума, не обращайте внимания.

Вообще под аналитичностью я подразумевал полином, но раз уж так все пошло...

Вообще, если я не ошибаюсь, все изотермы, которые наблюдают, Ленгмюра, Фрейндлиха, еще какие-то есть - все они монотонные функции.

Кстати, я начал чтение с метода монотонности, мало что понял, решил читать с начала, просматривая неизвестные мне теоремы, концентрация которых превышает все мыслимые пределы. К сожалению, на ФА, сказав о том что есть какие-то распределения и еще обобщенные функции, забыли сказать где их используют. И получается все как с чистого листа.

В моей задаче условие с краю так выглядит:

$\frac{\partial n}{\partial r}|_{r=R}=c_{1}+c_{2} \frac{n_{|r=R}}{n_{max}-n_{|r=R}}$

Правдоподобия ради в бесконечность здесь ничего уходить не должно.

[sup]

uxikar в сообщении #428487 писал(а):

Кстати, я начал чтение с метода монотонности, мало что понял, решил читать с начала, просматривая неизвестные мне теоремы, концентрация которых превышает все мыслимые пределы. К сожалению, на ФА, сказав о том что есть какие-то распределения и еще обобщенные функции, забыли сказать где их используют. И получается все как с чистого листа.

Должен признать, что если Вы не занимаетесь профессионально всякими диффурами, то от той книжки Вам будет немного толку.

Главный вопрос относительно той нелинейности, что Вы указали: каков знак у константы $c_2$. Или другими словами, что происходит, когда концентрация $n$ приближается к $n_{\max}$. Согласно Вашей формуле поток вроде как стремится к бесконечности. Один из знаков скорее всего не имеет физического смысла. С формальной точки зрения все будет просто замечательно, если $c_2 <0$.
К слову сказать, если уж говорить о физическом смысле, то повидимому, надо еще и ставить условие $n \geqslant 0$. Иначе придется что-то делать с отрицательной концентрацией. С другой стороны, а может ли так быть, что $n_{\max} < n$?
Если не секрет, почему Вы рассматриваете только "радиальные" решения? Это по существу, или Вы пытаетесь сначала разобраться с простым случаем? На всякий случай сообщаю, что для Вашей нелинейности (с хорошим знаком) можно обойтись без всяких упрощений. Задача будет вполне корректная.

[uxikar]

Да, конечно, c_{2} отрицательна.
$n_{max}>n>=0$, чтобы это имело физическое толкование.

[sup]

Ну что ж ... тогда, как я и говорил, с Вашей задачей все в порядке. Задача корректна. Решение существует и единственно. Ничего к бесконечности не стремится.

[uxikar]

У этого диффузионного процесса отсутствует вращательная составляющая. Мне нет большого смысла предпочитать одно направление другому: частица имеет однородную структура и концентрация вещ-ва в пограничном слое предполагается равномерной. Как мне кажется модель сильно усложнится. Внутри частицы еще происходят химические превращения. Вообще-то это тоже нелинейность в правой части. И так слишком сложно.
-----------
Да квалификации не хватает. Ну а что ж делать.

[sup]

А Вы можете выписать нужную систему? Без всяких упрощений. Вот уж если она окажется "неподъёмной", тогда и будем упрощать.
Наверное надо отказаться от "одномерщины" и сразу же написать оператор Лапласа. Может там еще какие-то слагаемые есть?

[svv]

sup писал(а):

... что происходит, когда концентрация $n$ приближается к $n_{\max}$. Согласно Вашей формуле поток вроде как стремится к бесконечности.

А вопрос к uxikarу:
Какой же физический смысл это имеет?

[uxikar]

Прошу прощения, я допустил опечатку. Так может быть, что n_{max} равен n.

svv в сообщении #428687 писал(а):

sup писал(а):

... что происходит, когда концентрация $n$ приближается к $n_{\max}$. Согласно Вашей формуле поток вроде как стремится к бесконечности.

А вопрос к uxikarу:
Какой же физический смысл это имеет?

1) все второе краевое условие - это закон сохранения масс для тонкого пограничного слоя, охватывающего частицу. 2) кол-во молекул, прилипших к поверхности выражается через кол-во молекул в жидком слое.
Если n_{max}=n, то все места на поверхности заняты и, я так понимаю, либо наступит полное равновесие, либо поменяется направление диффузионного потока и молекулы будут отлетать от поверхности, хотя последнее, наверное, может быть только если добавить температурные изменения.
По идее у фильтров ограниченный срок годности, потом если только разогревом восстанавливать.

sup в сообщении #428646 писал(а):

А Вы можете выписать нужную систему? Без всяких упрощений. Вот уж если она окажется "неподъёмной", тогда и будем упрощать.
Наверное надо отказаться от "одномерщины" и сразу же написать оператор Лапласа. Может там еще какие-то слагаемые есть?

Можно сделать, например так:

$\frac{\partial n}{\partial t}=\alpha\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial }{\partial r} (r^{2}\frac{\partial n}{\partial r})+\beta R(n,T)$

$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial }{\partial r} (r^{2}\frac{\partial T}{\partial r})+\delta R(n,T)$

Для обоих уравнений поставить те же граничные условия:

$\frac{\partial n}{\partial r}|_{r=0}=\frac{\partial T}{\partial r}|_{r=0}=0$

На концентрацию условия не изменять на поверхности, а для температуры почти то же самое

$\frac{\partial T}{\partial r}|_{r=R}=Bi(T_{b}-T|_{r})$

$T_{b}=const$

$R(n,T) =\frac{kn}{1+kn}exp(-\sigma\frac{T_{0}-T}{T})$.

$T_{0}$ и $n_{0}$ - начальные температура и концентрация.

Константы должны быть все положительны.

То, что вошло в частицу то вышло из реактора, а интерес составляет как раз то что там творится. Надо еще добавить закон сохранения масс, в который будет входить n и n_{b} (из краевого условия уравнения диффузии).

Над лапласом в сферических координатах я подумаю. Но если это все записать - кошмар получится.

-- Вт мар 29, 2011 23:24:13 --

sup Но усложнять мне нельзя ! Мне существование\единственность доказать надо. Я так и не понял в каком пространстве предсказывается решение и какая идеология выбора этого пространства. Был бы признателен если бы Вы описали шаги и какие результаты могут использоваться.

[sup]

Вы напрасно паникуете. У Вас вполне приличные уравнения. Если что и "напрягает", так это то, что на краю может возникнуть особенность. А точнее, следует ли ставить дополнительное условие на краю $n(R,t)<n_{\max}$, поскольку $n(R,t) \geq n_{\max}$ "нефизично"?
По поводу сферических координат в многомерном случае. А не проще писать просто
$n_t=\alpha \triangle n + \beta R(n,T)$
$T_t=\alpha \triangle T + \delta R(n,T)$
Насчет разрешимости и пространств. Какими методами доказательства существования и единственности Вы располагаете?
Насколько Вы знакомы с методами использующими априорные оценки?
Вообще, типичная теорема существования выглядит примерно так. Решаем набор вспомогательных ("простых") задач и получаем "приближенные" решения. Потом из этой последовательности решений выбираем некую подпоследовательность, про которую доказываем, что она сходится и её предел - то что надо. Для обоснования сходимости привлекаются соображения компактности. Например, если последовательность ограничена в каком-нибудь рефлексивном пространстве - то из нее можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность (теорема Банаха-Алаоглу). Потом уж как-нибудь докажем, что предел действительно то что нужно. Поэтому, наша задача доказать, что эти самые приближенные решения ограничены в каком-нибудь "хорошем" пространстве. Для этого уже наработан некий аппарат априорных оценок ( ... умножим уравнение на что-то-там и проинтегрируем по частям ...). Но может Вам надо классическое решение? Тогда можно действовать другими методами.