Уравнение теплопроводности с нелинейными краевыми условиями

[uxikar]

Здравствуйте.

Есть одномерное уравнение теплопроводности, лапласиан записан в сферической системе координат:

$\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}\frac{\partial n}{\partial r})$

Ставится начально-краевая задача:

(i) $n(r,o)=n_{0} $

(b1) $\frac{\partial n}{\partial r}|_{r=0}=0 $

(b2) $\frac{\partial n}{\partial r}|_{r=R}=f(n(R,t)) $, где f - аналитическая функция одного аргумента.

У меня большой вопрос: можно ли где-нибудь прочитать о корректности постановки такой задачи, области существовании решения, единственности? Есть ли теоремы для такого типа задач. Если кто-то может мыслями поделиться, буду очень признателен.

[Imperator]

Посмотрите
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, 1977.

[Munin]

Я думаю, в каждой малой окрестности $n(R)$ условие надо линеаризовать, и рассматривать его как краевое условие третьего рода. Для таких краевых условий теоремы должны быть разработаны. А дальше смотреть на поведение $f(n(R)),$ как оно соотносится с условиями и утверждениями этих теорем, могут происходить те или иные перестройки.

[sup]

Здесь скорее не аналитичность важна, а знак и монотонность. Для разрешимости наверняка достаточно, чтобы $f(u)$ была не слишком плохой и $\forall \xi \in R: f(\xi)\xi \leqslant 0$. В этом случае сразу же получается стандартная априорная оценка. Используя теоремы вложения, можно наверное еще ослабить данное неравенство. Разрешимость доказываем методом Галеркина. Главное получить хорошую оценку на границе (там, где нелинейность).
Если же $\forall \xi, \eta \in R: (f(\xi) -f(\eta))(\xi -\eta) \leqslant 0$, то в этом случае можно применять метод монотонности. На сей счет можно заглянуть в монографию Лионса "Некоторые методы решения нелинейных краевых задач".

[Oleg Zubelevich]

sup
обратите внимание на условие в центе шара:

uxikar в сообщении #427636 писал(а):

$\frac{\partial n}{\partial r}|_{r=0}=0 $

Вам это странным не кажется?

[svv]

Простите, а что здесь странного? Я бы сказал, в случае центральной симметрии это условие само собой разумеется, иначе в окрестности нуля решение как функция декартовых координат не будет дифференцируемым.

[sup]

Oleg Zubelevich
Хм, да, в самом деле, я что-то так не глядя написал. В каком смысле принимается это условие? Если решение достаточно гладкое - то из уравнения. Возможно, что ТС написал его "из естественных соображений", аналогично svv. Тогда его действительно лучше убрать.
svv Речь идет об обобщенных производных. А посему значение таковых в конкретной точке вообще говоря не определено. Кроме того, уравнение задано "само по себе". Можно вообще ничего не знать о сферической замене, да и какое нам дело, будут там функции дифференцируемы или нет ...

[uxikar]

Краевые условия появляются здесь по естественным причинам. Условие b1 можно трактовать как отсутствие источника вещества в центре шара. Условие b2 - это взаимодействие со средой, грубо: $\frac{\partial n}{\partial r}|_{r=0}=K(c-c_s)$, $c_s$ определяет концентрацию вещества на поверхности , с - во внешности (постоянная концентрация).

Причем не обязательно $c_s$ равно или пропорционально $n(R,t)$. Эту зависимость наблюдают, получают нелинейность, которая переползает в граничное условие. Но если смотреть не предвзято, предполагать линейную зависимость (эх была бы непрерывная зависимость, уже что-то) и действительно получится третья краевая.
К которой у меня получилось найти точное решение, но я никак не обосновал единственность.

Смущает, что если сделать $r^{2}=x$, уравнение принимает человеческий вид, особенность уходит, но b1 тоже уходит! (если только говорить о хороших функциях!) И тут я начинаю сомневаться, что задача вообще корректно поставлена. А с нелинейностью... ну я вообще не могу что-то сказать, но спасибо тем не менее за книгу.

[svv]

sup писал(а):

Кроме того, уравнение задано "само по себе". Можно вообще ничего не знать о сферической замене, да и какое нам дело, будут там функции дифференцируемы или нет ...

Как всё-таки отличаются подход физика и подход математика. Физик: "Но ведь в центре шара решение не будет иметь нужной гладкости!". А математик: "Да кто вообще сказал, что речь о физическом пространстве?".

[ewert]

uxikar в сообщении #427993 писал(а):

Смущает, что если сделать $r^{2}=x$, уравнение принимает человеческий вид, особенность уходит

Никуда она не уходит: уж если задача сингулярна, то -- сингулярна, как ни преобразовывай. И граничное условие в нуле -- вовсе не на производную, а на саму функцию: $n\Big|_{r=0}\neq\infty$. Другими словами, из двумерного пространства решений надо отобрать то единственное (с точностью до постоянного множителя), которое ограничено в окрестности нуля.

[sup]

uxikar
Я, все же, не понимаю, почему Вас так пугает исчезновение условия в 0 при переходе к "обычным" координатам? Вот уж если бы там был источник тогда я бы еще понял. Чем провинилась эта точка? В других точках Вас эта проблема не беспокоит.
С физической точки зрения Ваша задача скорее всего монотонна, а посему единственность там должна быть. Это имеет место, если $c_s$ монотонно зависит от $n$ (одновременно растут или убывают). Но даже если это не так, на единственность все же можно надеяться, если нелинейность "не слишком плохая". В этом случае придется привлекать теоремы вложения, позволяющие оценить значения функции на краю. (Можете ли Вы поточнее описать поведение $c_s(n)$?)
В книге, что я Вам указал, именно такую задачу Вы вряд ли найдете. Но вот идеология монотонных операторов там вполне разработана.
Лично я бы все таки рассматривал одномерное уравнение. Что касается условия в 0, то как уже заметил ewert, речь идет об ограниченности в 0. Ну а если быть более точным, то речь идет о принадлежности $n(r)$ некоторому весовому функциональному пространству. Стоит ли удивляться, что первое же естественное пространство это весовое $W_2^1$ с нормой
$\|rn_r\|_{L_2(0,R)}+\|rn\|_{L_2(0,R)}$
В этом случае решение может даже быть неограниченным в 0.
Можно, конечно, рассматривать и более гладкие функции. Тогда могут возникнуть и следы в 0.

[ewert]

sup в сообщении #428102 писал(а):

В этом случае решение может даже быть неограниченным в 0.

Вообще-то это пространство $W_2^2$, а не $W_2^1$ (последнее -- для квадратичной формы, а не для самого оператора). Так что неограниченности быть всё-таки не может.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #428102 писал(а):

Стоит ли удивляться, что первое же естественное пространство это весовое $W_2^1$ с нормой
$\|rn_r\|_{L_2(0,R)}+\|rn\|_{L_2(0,R)}$

а зачем? давайте рассматривать шар и стандартные пространства Соболева. Вы ведь этими весами фактически имитируете многомерность, практически тотже элемент объема получается. Галеркиновские приближения можно брать в классе сферически симметричных функций. А про условие в нуле просто забыть надо.

-- Вс мар 27, 2011 19:25:05 --

если бы был способ переместить эту нелинейность из гран. условий в правую часть (пусть даже эта правая часть какой-нибудь функциональный оператор будет), а гран. условия сделать однородными, то можно было бы действовать полугрупповыми методами, и тогда монотонность уже не понадобилась бы, вообще говоря.

[sup]

ewert
Ну это если правая часть позволит. А вдруг там что-нибудь "похуже" чем весовое $L_2$? Это вполне возможно. Так например, для оператора Лапласа вполне естественна задача
$\triangle u = f,$
$u \in W_2^1(\Omega), f \in W_2^{-1}(\Omega)$
Oleg Zubelevich
Да я и не спорю. Все это одно и то же. Просто в одномерном случае "легче и нагляднее" бороться с нелинейностью. В "настоящем" многомерном случае теоремы вложения дадут более слабые оценки. Ну разве что веса в интегралах мозолят глаза. Но нелинейность то как раз там, где вес не играет серьёзной роли.
А вообще, монотонность - это уж совсем "тяжелая артиллерия". Думаю все будет хорошо, если нелинейность гладкая и нужного знака. Судя по всему, со знаком там порядок. Вот с гладкостью я не понял.

[Munin]

Запугали, небось, топикстартера :-)