Алгебр. геометрия, ф-я с замкнутым графиком

[id]

Пусть $k$ - алгебраически замкнутое поле, $f: k \to k$ - функция, график которой замкнут в $k^2$ с топологией Зарисского. Что можно про нее сказать?

Ну, допустим, непрерывность вполне очевидна. А еще?

[patzer2097]

id в сообщении #428124 писал(а):

$f: k \to k^2$ - функция, график которой замкнут в $k^2$

Почему в $k^2$, график ее же есть подмножество $k^3$, наверное?

[id]

Спасибо, исправил. Опечатка.
$f: k\to k$, график рассматривается как подмножество $k^2$.

[id]

Есть гипотеза, кое-что хотел бы уточнить.
$f: k \to \{ (x,f(x)): x \in k \} \subset k^2$ есть морфизм между аффинными алгебраическими многообразиями.

То, что регулярные ф-ии переходят в регулярные ясно (благо на аффинном многообразии это просто локально отношение полиномов).
А вот непрерывность $f: k \to \{ (x,f(x)): x \in k \}$ где последнее рассмотрено с топологией Зарисского... Пусть $\Gamma(f):= \{ (x,f(x)): x \in k \}$
Замкнутое подмножество в $\Gamma(f)$ с индуцированной топологией - это в точности $Z(y-f(x), g_1(x,y),\dots,g_k(x,y))$. Требуется показаться, что проекция этого мн-ва на ось икс будет либо всем $k$, либо конечным множеством.
Вариант: рассмотрим разложение $\Gamma(f) = Y_1 \cup Y_2 \cup \dots \cup Y_n$ на неприводимые алгебраические мн-ва. Замкнутое множество в $\Gamma(f)$ дает в пересечении с каждым $Y_i$ замкнутое мн-во. Т.е. достаточно показать, что проекция $Z(y-f(x)) \cap Y_i$ на иксы есть либо $k$, либо конечна для всех $i$.
$Y_i = Z(h_1, \dots, h_l)$, но про неприводимость полиномов $h_i$ уже ничего сказать нельзя. Зато т.к. $k[x,y]$ есть UFD, имеем $h_i = \prod\limits_{m=1}^{u_i} p_i^m$ для неприводимых $p_i^m$.
Тогда $Z(y-f(x)) \cap Y_i = \bigcap\limits_{j=1}^l \Gamma(f) \cap Z(h_j) = \bigcap\limits_{j=1}^l \bigcup\limits_{m=1}^{u_j} \Gamma(f) \cap Z(p_i^m)$

И тут уже может быть теоремой Безу?

[id]

Которая вроде как применима, т.к. $Z(p_i^m) = Z(p_i)$ и полином $p_i$ неприводим.
Или я что-то путаю?


При этом ф-я не обязана быть многочленом (в случае $\mathbb R$ подойдет кубический корень, но надо бы контрпример хотя бы в $\mathbb C$)

[id]

Так, про регулярные ф-и я наврал, регулярные ф-ии не обязаны переходить в регулярные.

Но непрерывность как отображения многообразий все еще интересует.