Обобщение формулы Остроградского-Гаусса

[egor20]

Подскажите книгу по векторному анализу, где есть обобщение формулы Остроградского-Гаусса дпя обьема зависящего от времени.

[svv]

А что мешает этой теореме быть справедливой без всяких модификаций при каждом $t$, если область (да хотя бы и само векторное поле) зависит от времени?
Всем входящим в формулировку этой теоремы "сущностям", скажем так, всё равно, меняются ли они во времени и как именно. Никаких производных по времени, важен текущий момент.

[egor20]

Общий вид сохранить,но сделать зависимыми от времени пределы интегрирования слева и справа в формуле? Спасибо.

[svv]

Точно так.
Не за что.

Можно немного порассуждать на эту тему. Представьте, что время $t$ -- это не время, а просто некоторый параметр задачи. И, чтобы оно не давило на нас своей быстротечностью, мы его даже обозначим не $t$, а $\lambda$.

Теперь мы рассматриваем задачу при одном таком значении параметра. Но область ничего "не знает" о существовании других значений параметра, о том, как она зависит от $\lambda$. И не надо.

Совсем другая ситуация была бы, если бы надо было находить производную потока по времени. Тогда было бы слагаемое, обусловленное изменением самого поля, но также было бы слагаемое, обусловленное изменением границы.

[egor20]

Эта инвариантность формулы относительно измен. обьема наверно применима и к формуле Стокса в виде инвар.
относ. измен. поверхности.

[svv]

Да, конечно.

А давайте посмотрим на простом примере. На плоскости задана область -- круг радиусом $r$ с центром в начале координат, и задано векторное поле $\mathbf a=x \mathbf{e}_y - y \mathbf{e}_x$. Находим $z$-компоненту ротора: $\frac{\partial a_y}{\partial x}-\frac{\partial a_x}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial (-y)}{\partial y}=2$. Так как ротор -- константа, его легко проинтегрировать по области, получится $2\pi r^2$. Циркуляцию по окружности также легко найти, так как везде на окружности тангенциальная компонента поля (т.е. проекция $\mathbf a$ на единичный касательный вектор $\frac x r \mathbf{e}_y - \frac y r \mathbf{e}_x$) равна $r$. Умножая на длину окружности, получаем $2\pi r^2$. Подтвердилась теорема Стокса? Подтвердилась.

Теперь я сообщаю Вам то, что утаил: оказывается, граница области расширяется со скоростью света! (Страшно? ). Радиус нашего круга, оказывается, зависит от времени: $r(t)=ct$.
Но посмотрите: а что, собственно, это меняет? Пусть в момент $t$ радиус равен $r$. Разве теперь для этого момента ротор поля или интеграл от ротора вычисляется по-другому? Нет, так же, как и раньше. Может, циркуляция по-другому вычисляется? Тоже нет. А раз всё по-старому, значит, они по-прежнему равны в каждый данный момент, и теорема справедлива (тоже в каждый данный момент). Зависимость всего, что в теорему входит, от какого-нибудь параметра (время) для её справедливости несущественна.

Вот только производные по времени от потока или циркуляции уже должны учитывать скорость изменения границы области.

Помедитируйте на такую тему: известны координаты вершин треугольника. Есть формула для площади треугольника через эти координаты. Вы применяете её и находите площадь. Теперь вдруг оказывается, что координаты вершин быстро меняются, и равны тем значениям, что Вы использовали, только в момент $t$. Как это скажется на вычислении площади треугольника в момент $t$?

[egor20]

Вычисление площади не зависит от величины площади только бы треугольник отобразился в треугольник.
Эти формулы Стокса и Остр.-Гаусса наверно не будут инвариантн. относительно измен. площади для
непотенциальных функций (будет зависимость от пути интегрирования).

[svv]

Я хотел сказать, что если нам надо найти площадь в данный момент $t$ и для этого момента известны координаты вершин, то ничто другое за пределами этого момента не имеет значения.

[egor20]

Для площади да,но есть интегральные уравнения где учитывается предистория(ядром в предыдущий момент времени).
Хочу уточнить, формула Стокса справедлива в области непотенциальных полей, а Острогр.-Гаусса для потенц., что
надо учитывать при изменении обьема(поверхности) для неоднородных полей.

[svv]

А какое отношение имеет теорема Гаусса, где под интегралом стоит дивергенция поля в текущий момент, к интегральному уравнению с ядром типа $K(t, t')$?

[egor20]

Я имел ввиду вообще интегральные уравнения, кстати у меня задача где граничное условие движется по распределению в предыдущий
момент времени,что его надо разложить в ряд,чтоб избавится от двух времен ?

[svv]

Вопрос. Что нужно сделать, чтобы избавиться от двух времён под интегралом в интегральном уравнении?
Ответ. Решить интегральное уравнение.

Да, я уже говорил, если у Вас берется производная от интеграла с переменной областью интегрирования, то надо работать аккуратно.

[egor20]

Есть готовые производные по параметру от интегралов с переменным пределом в Борисенко ,, Векторный анализ.... ,, для
изменяющ. обьема движущейся среды. А если взять перем. по времени фазовый обьем (например температура-пространство) и по нему
интегрировать ,тогда форм. Остр.-Гаусса и Стокса, а затем и производ. от интегр. изменятся по виду от вышеизложенного ?

[svv]

Если имеется в виду, можно ли применять всё это для случаев, когда у нас не физическое пространство, а нечто более абстрактное (например, фазовое), то ответ -- да, можно. Теоремам всё равно, какой физический смысл имеет пространство и какие величины являются компонентами векторного поля.

Размерность будет не $3$, а, скажем, $6$? Пожалуйста, только тогда $\operatorname{div}\mathbf a = \frac {\partial a_1}{\partial x_1} + \frac {\partial a_2}{\partial x_2} + \frac {\partial a_3}{\partial x_3} + \frac {\partial a_4}{\partial x_4} + \frac {\partial a_5}{\partial x_5} + \frac {\partial a_6}{\partial x_6}$. Аналогично -- поток и циркуляция.

Сами интегральные теоремы с этими оговорками остаются справедливыми и в Вашем случае. А по поводу производных по параметру (времени) от потока или циркуляции, о которых я уже несколько раз предупреждал, Вы и сами видели в книге, что появляется слагаемое, обусловленное движением самого контура. Но что интересно, вывод предполагает, что сами интегральные теоремы остаются справедливыми.

[egor20]

Я заговорил о фазовом пространстве потому, что потоки в нем могут изменятся со временем для неподвижного вещества и дифференцировать надо все равно как по параметру(в книге для движущ. вещества) и слагаемое куда входила скорость вещества
исчезнет, а будет скор. измен. фазового обьема?