Классификация групп порядка 1125

[mushti]

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, с задачкей о классификации всех групп порядка 1125. Интересует, конечно, случай неабелевых групп.
Так как $1125=5^3\cdot 3^2$, то рассмотрим силовские 3-подгруппы и силовские 5-подгруппы. Пусть $N_3$ - количество силовских 3-подгрупп, $N_5$ - количество силовских 5-подгрупп. По теореме Силова $N_5\equiv 5 (\mod 5), \quad N_5|3^2$. Отсюда получаем ответ $N_5=1$.
Однако для $N_3: N_3\equiv 3(\mod 3),\quad N_3|5^3$. Здесь получается неоднозначность, ибо получаем два варианта, либо $N_3=1$ либо $N_3=25$.
Если бы $N_3=1$ задачка была бы решена, так как группа разлагалась бы в прямое произведение своих силовских подгрупп, а там уже легко все классифицируется.
Не дает покоя случай $N_3=25$. Можно ли доказать, что такой случай невозможен?

[VAL]

mushti в сообщении #427763 писал(а):

Так как $1125=5^3\cdot 3^2$, то рассмотрим силовские 3-подгруппы и силовские 5-подгруппы. Пусть $N_3$ - количество силовских 3-подгрупп, $N_5$ - количество силовских 5-подгрупп. По теореме Силова $N_5\equiv 5 (\mod 5), \quad N_5|3^2$. Отсюда получаем ответ $N_5=1$.
Однако для $N_3: N_3\equiv 3(\mod 3),\quad N_3|5^3$.

Какая у вас странная теорема Силова!
По существу вопроса: полагаю, что случай $N_3=25$ возможен.
Исключительно на основании принципа: все что не запрещено, разрешено

[mushti]

VAL в сообщении #427769 писал(а):

mushti в сообщении #427763 писал(а):

Так как $1125=5^3\cdot 3^2$, то рассмотрим силовские 3-подгруппы и силовские 5-подгруппы. Пусть $N_3$ - количество силовских 3-подгрупп, $N_5$ - количество силовских 5-подгрупп. По теореме Силова $N_5\equiv 5 (\mod 5), \quad N_5|3^2$. Отсюда получаем ответ $N_5=1$.
Однако для $N_3: N_3\equiv 3(\mod 3),\quad N_3|5^3$.

Какая у вас странная теорема Силова!
По существу вопроса: полагаю, что случай $N_3=25$ возможен.
Исключительно на основании принципа: все что не запрещено, разрешено

Ну я извиняюсь, ошибся, поспешил. там должно быть $N_3\equiv 1\mod 3$, $N_5\equiv 1\mod 5$