многочлены

[0n0]

Нужно представить $ (x^4-1)^3$ в виде $(x^2+px+q)^m$ .

Я пробовал:
$ (x^4-1)^3$=x^{12}-3x^8+3x^2+3x^4-1 а дальше прбовал разлагать, ничего хорошего не вышло.
Еще:
Если $(x^2+px+q)^m$=x^4-1, то очевидно m=2,
$(x^2+px+q)^2=x^4+2px^3+(2q+p^2)x^2+2pqx+q^2$ и тогда
2p=0
2q+p^2=0
2pq=0
q^2=-1 ---- значит в поле вещественных чисел представления $(x^2+px+q)^m$=x^4-1 нет (задачу нужно решить в поле вещественных чисел)

как представить? можно ли это сделать?

[ИСН]

0n0 в сообщении #427722 писал(а):

значит в поле вещественных чисел представления нет

0n0 в сообщении #427722 писал(а):

задачу нужно решить в поле вещественных чисел

зовите капитана Очевидность

[0n0]

нет представления для $ (x^4-1)$ , а для $ (x^4-1)^3$ возможно найти?

[ИСН]

Ну смотрите. Какая-то степень квадратного трёхчлена равна вот этой штуке. Какая? Очевидно, шестая (иначе степени не сойдутся). Тогда его вторая степень чему равна? А?

[0n0]

спасибо
Как тогда найти неопределенный интеграл$\int \frac{dx}{(x^4-1)^3}$

[ИСН]

тьфу! так Вы ради этого!
Как и от любой рациональной функции: раскладываем знаменатель на множители, потом дробь - на слагаемые...

[V.V.]

0n0 в сообщении #427733 писал(а):

Как тогда найти неопределенный интеграл$\int \frac{dx}{(x^4-1)^3}$

Метод Остроградского в этом случае очень полезен.

[0n0]

$\int \frac{dx}{(x^4-1)^3} $
Какое удобное разложение на простые дроби можно выбрать;у меня получилось
$(x^4-1)^3=(x^2-1)^3(x^2+1)^3=((x-1)(x+1))^3(x^2+1)^3=((x-1)(x+1)(x^2+1))((x-1)(x+1)(x^2+1))(x-1)(x+1)(x^2+1))$
Это верно?

0n0, не надо для продолжения темы создавать отдельную ветку. Сообщения из двух веток соединены.
/ GAA, 27.03.11

[SpBTimes]

Разложили правильно.

[bot]

Если действовать стандартно, то муторно. Лучше взять $\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$ и возвести в квадрат и куб. Из полученных соотношений легко получается разложение на простейшие. Остаётся заменить $x$ на $x^2$ и снова воспользоваться тем же равенством.
Другой вариант интегрированием по частям можно куб понизить до двух, потом до одного ...

(Оффтоп)

По заголовку подумал, что это прикладная задача из животноводства

[0n0]

Ищу интеграл $\int \frac{\sin x}{(\sin x)^3+(\cos x)^3} $, решаю: делю на $ (\sin x)^3$, получаю $\int \frac{(\frac{1}{(\sin x)^2})}{1+(\ctg x)^3}$
Можно ли так сокращать; и если нужно, то как учитывать такое сокращение в решении.

Напишите разложение на дроби для $\int \frac{1+t^2}{(1+t)(t^2-t+1)} $.
Как решить такой интеграл:
$\int \frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}$
выражения $x^5$ и $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ по отдельности - табличные интегралы, а как их в дроби найти?

[ИСН]

1 - можно и даже полезно; про "как учитывать" не понял вопроса.
2 - как обычно.
3 - там надо как-то раскладывать верх и возиться. Пример: $\int {x^2\over\sqrt{1-x^2}}dx=\int {1-(1-x^2)\over\sqrt{1-x^2}}dx=\int {dx\over\sqrt{1-x^2}}-\int \sqrt{1-x^2}dx$ - был один непонятный, стало два табличных.

-- Вс, 2011-03-27, 19:39 --

Ах да, совсем забыл. Ещё раз забудете написать $dx$ - Вас найдут и подвергнут дефенестрации.

[0n0]

0n0 в сообщении #428100 писал(а):

Ищу интеграл $\int \frac{\sin x}{(\sin x)^3+(\cos x)^3} $, решаю: делю на $ (\sin x)^3$, получаю $\int \frac{(\frac{1}{(\sin x)^2})}{1+(\ctg x)^3}$
Можно ли так сокращать; и если нужно, то как учитывать такое сокращение в решении.

Напишите разложение на дроби для $\int \frac{1+t^2}{(1+t)(t^2-t+1)} $.
Как решить такой интеграл:
$\int \frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}$
выражения $x^5$ и $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ по отдельности - табличные интегралы, а как их в дроби найти?

Помогите найти интеграл от $\int \frac{1+t^2}{(1+t)(t^2-t+1)} $.
Я понимаю, что вещь достаточно стандартная.

[Sonic86]

0n0 писал(а):

Помогите найти интеграл от $\int \frac{1+t^2}{(1+t)(t^2-t+1)} $.
Я понимаю, что вещь достаточно стандартная.

Раскладывайте в сумму 2-х простейших.

[ИСН]

(Оффтоп)