тфкп интеграл

[ewert]

Вообще-то лучше не тянуть кота за хвост, а просто запомнить обобщённую теорему о вычетах: $\oint\limits_{\Gamma}f(z)\,dz=2\pi i\sum\limits_k\mathop\mathrm{Res}\limits_{z=z_k}f(z)+\pi i\sum\limits_k\mathop\mathrm{Res}\limits_{z=w_k}f(z)$, где $\{z_k\}$ -- особые точки внутри контура $\Gamma$ и $\{w_k\}$ -- особые точки на самом контуре, но при непременном условии: все $\{w_k\}$ -- это простые полюса и лежат они на гладких участках контура.

[sup]

А еще лучше, взять в руки книжку да и покончить с проблемой раз и навсегда.

[ИСН]

(Оффтоп)

sup в сообщении #427062 писал(а):

да и покончить с проблемой раз и навсегда

Убиться книжкой по голове?

[alves]

вот именно, что в книжке не нашел такого. Можете сказать из какой книги эта обобщенная формула и как ее вывести ?
но вообще мы и тут почти до решения добрались, только я так и не понял в том интеграле сколько получается.
понимаю что я уже всем надоел, потерпите еще немного.

[sup]

(Оффтоп)

Да Вы не обижайтесь. Просто лень пересказывать стандартную теорию.

Какую книжку - так сразу и не скажу. Где есть интегралы типа Коши (да еще и с примерами ...). А вообще-то мы эту формулу почти-что доказали.
Что до Вашего интеграла, то пусть $a>0$. Рассматриваем Вашу функцию в верхней полуплоскости, и применяем к ней формулу с вычетами. Особенности только на контуре. Вроде бы получается $i\pi \cos az_0$. Если $a<0$ то надо рассматривать нижнюю полуплоскость. Поэтому появится знак минус.

[ewert]

alves в сообщении #427074 писал(а):

Можете сказать из какой книги эта обобщенная формула и как ее вывести ?

Из какой книжки -- не знаю, а выводится она очень просто, даже проще, чем делавшиеся тут попытки и намёки.

Т.е. выводится-то она совсем просто: если чуть-чуть деформировать контур так, чтобы полюса, лежавшие вне контура, оказались снаружи, то они дадут нулевой вклад в интеграл. А если деформировать так, чтобы они оказались внутри, то вклад от них окажется полноценным, с множителем $2\pi i$. Логично предположить, что по соображениям симметрии в момент пересечения контуром этих полюсов вклад окажется половинным, т.е. с множителем $\pi i$.

И эти интуитивные соображения очень легко и естественно формализуются. Пусть $\Gamma$ -- исходный контур с простыми полюсами $\{w_k\}$ на нём и $\Gamma_{\varepsilon}$ -- то, что остаётся от $\Gamma$ выкидыванием из него $\varepsilon_k$-окрестностей полюсов $w_k$. По определению, главное значение интеграла по $\Gamma$ -- это предел интеграла по $\Gamma_{\varepsilon}$ при независимом стремлении всех $\varepsilon_k$ к нулю. Интеграл по $\Gamma_{\varepsilon}$ -- это разность между интегралом по контуру $\widetilde{\Gamma}_{\varepsilon}$, полученным замыканием $\Gamma_{\varepsilon}$ дугами окружностей $C_{\varepsilon_k}$ (направленными внутрь $\Gamma$) радиусов $\varepsilon_k$ с центрами $w_k$, и интегралами по самим этим дугам. Интеграл по $\widetilde{\Gamma}_{\varepsilon}$ равен $2\pi i$ на сумму вычетов по внутренним точкам, так что всё сводится к доказательству того, что минус интеграл по каждой $C_{\varepsilon_k}$ стремится к $\pi i$ на вычет в точке $w_k$.

Ну последнее вполне очевидно. Параметризуем $C_{\varepsilon_k}$ как $z-w_k=\varepsilon_ke^{i\varphi}$, где $\varphi$ меняется от $\varphi_2$ до $\varphi_1$, причём $\varphi_2>\varphi_1$ (поскольку дуга обходится по часовой стрелке) и $\varphi_2-\varphi_1\to\pi$ при $\varepsilon_k\to0$ (поскольку прилегающий участок контура $\Gamma$ гладкий). Если теперь $g(z)\equiv f(z)\cdot(z-w_k)$, то

$-\int\limits_{C_{\varepsilon_k}}f(z)\,dz=-\int\limits_{C_{\varepsilon_k}}\dfrac{g(z)}{z-w_k}\,d(z-w_k)=-\int\limits_{\varphi=\varphi_2}^{\varphi_1}g\big(z(\varphi)\big)\,\dfrac{d(\varepsilon_ke^{i\varphi})}{\varepsilon_ke^{i\varphi}}=i\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}g\big(z(\varphi)\big)\,d\varphi=$

$=i(\varphi_2-\varphi_1)\cdot g(\xi_k),$

где $\xi_k$ лежит на $C_{\varepsilon_k}$ (по теореме о среднем) и, следовательно, стремится к $w_k$. Следовательно, весь маленький минус интегральчик стремится к $i\pi\cdot g(w_k)$. Но $g(w_k)$ -- это и есть вычет в данном полюсе, поскольку порядок полюса -- первый.

(Здесь для краткости допущена неточность: теорему о среднем нельзя применять к комплексной подынтегральной функции. Ну что ж, надо просто применить её отдельно к вещественной и отдельно к мнимой частям этой функции, только и всего.)

[Joker_vD]

ewert
А если особенности на самом контуре — не простые полюса? Или лежат не на гладком месте? Что тогда будет?

[sup]

Если особенности выше первого порядка, то в более или менее общем случае не удается придать такому интегралу вразумительный смысл. А вот контур может быть вообще говоря кусочно-гладким (взгляните на выкладки ewert'а). Более общую теорию интегралов типа Коши можно найти в книге Мусхелишвили "Сингулярные уравнения".

[alves]

всем большое спасибо

[ewert]

sup в сообщении #427122 писал(а):

Если особенности выше первого порядка, то в более или менее общем случае не удается придать такому интегралу вразумительный смысл.

Не совсем так: если участок контура прямолинейный, а отрицательные степени ряда Лорана -- лишь нечётные, то утверждение всё-таки сохранится.