тфкп интеграл

[alves]

$$\int_{-\infty}^{\infty } xe^{ixa}/(x^2-x_0^2) dx$$

помогите решить. Похожий пример есть в книге Краснова, но тут особая точка x_0 расположена на действительной оси.

Символ бесконечности изображается командой \infty . Поправил. //АКМ

[sup]

Если $x_0$ вещественно, то этот интеграл можно сосчитать только в смысле главного значения, а именно
$\mathop {\lim}\limits_{\varepsilon \to +0} \left (\int \limits_{-\infty}^{-x_0-\varepsilon} +\int \limits_{-x_0+\varepsilon}^{x_0-\varepsilon} +\int \limits_{x_0+\varepsilon}^{\infty} \right ) \frac {xe^{iax}}{x^2-x_0^2}dx$
Для этого сначала стоит преобразовать его к виду
$ \frac {1}{2}\int \limits_{-\infty}^{\infty}e^{iax}\left ( \frac {1}{x-x_0} + \frac {1}{x+x_0} \right )dx $
А потом разобраться с каждым по отдельности. Для этого окружаем особенность маленькой полуокружностью радиуса $\varepsilon$, вычисляем интеграл по этой полуокружности как полувычет (с малой ошибкой), и, наконец, применяем теорию вычетов. Или же (чтоб не мучиться) используем формулы Сохоцкого-Племеля.

[alves]

спасибо. Вот для интеграла по маленькой полуокружности. Можете сказать, правильно ли я делаю, и если да, то как дальше ?
$\mathop {\lim}\limits_{\epsilon \to 0}i/2\int_{0}^{\pi} e^{iax}\epsilon e^{i\phi}/\epsilon(e^{i\phi}-e^{i\phi_0})d\phi$=$\int_{0}^{\pi} e^{i\phi}/(e^{i\phi}-e^{i\phi_0})d\phi$

[sup]

У Вас очевидная путаница. То, что Вы намерены применить "полярную" замену - это правильно, но вот дальше ....
Очевидно речь идет о замене $x=x_0+\varepsilon e^{i\phi}$. Тогда что это за "зверь" $e^{i\phi_0}$? Кроме того, а что произошло с членом $e^{iax}$? Он то куда подевался? Вид у него получается, прямо скажем, не важный (если честно применить замену). Лучше действовать немного по другому. Вот типичный подход. Прежде всего, какую полуокружность мы добавляем? От этого зависит интервал изменения $\phi$. Если верхняя полуокружность, то $\phi$ меняется от $\pi$ до 0. А если нижняя, то от от $-\pi$ до 0. Далее. Рассмотрим интеграл
$J = \int \limits_{C} \frac {f(z)}{z-z_0}dz$
Типичный прием, как избавиться от $f(z)$
$J = \int \limits_{C} \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz + f(z_0)\int \limits_{C} \frac {1}{z-z_0}dz$
Легко видеть, что первый интеграл мал, а второй считается явно. Например, с помощью Вашей замены. А можно и через первообразную - логарифм. Помните, от того, какую полуокружность Вы выберете, зависит знак интеграла.

[alves]

если сделать замену то второй интеграл равен нулю при $\varepsilon$ стремящемся к нулю.

[sup]

Это еще почему???? Контур малой длины, но и знаменатель малый. А кроме того, я же говорил этот интеграл считается ЯВНО.
Может Вы с логарифмами от комплексных чисел "не дружите"? Проверьте вычисления.

[alves]

так там же z0 в знаменателе будет типа 0/z0
а явно в каких пределах ? уж извините за мою непробиваемость

[sup]

Ну что ж, займемся этим интегралом. Для определенности положим (нижняя полуокружность) $C = \{z=z_0+re^{i\phi}| \phi \in [-\pi, 0]\}$.
$J=\int \limits_C \frac {dz}{z-z_0}$
Первый способ.
1. Какая первообразная $F(z)$ у функции $\frac {1}{z-z_0}$?
2. Как применить эту первообразную для вычисления $J$?

Второй способ.
Проведите замену $z=z_0+re^{i\phi}$.
1. Выпишите получившийся интеграл.
2. Сосчитайте этот интеграл.

На всякий случай напоминаю. Полуокружность НЕ возле $z=0$, а возле $z=z_0$.
Ответьте на вопросы.
1. Зачем мы это делаем?
2. Как после всего этого сосчитать интеграл в смысле главного значения.

[alves]

спасибо
интеграл получается равен $i\pi z_0$ , а тот, что с плюсом $\pi/2$?
дальше надо что-то делать с интегралами от $\varepsilon +z_0$ до R ?

[ewert]

леммы Жордана -- в курсе?...

[alves]

в курсе. интеграл $C_R$ будет равен нулю, я не про это.

[sup]

alves
Из Ваших сообщений я ничего не понял. Начнем издалека.
1. Как найти интеграл
$\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac {e^{iaz}}{z-z_0}dz$
если $Im z_0 \neq 0$? Почему это условие важно?
2. Как мы собираемся искать интеграл в смысле главного значения
$\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac {e^{iaz}}{z-z_0}dz$
если $z_0$ вещественно? Каков план действий?
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, надо бы вспомнить что это такое "в смысле главного значения". Как бы это сюда приспособить теорию вычетов? Напоминаю, мы что то там про полуокружности говорили.
3. Интеграл по полуокружности Вы сосчитали неправильно. Он от $z_0$ не зависит. Надо бы разобраться.
4. Следующая фраза непонятна

alves в сообщении #427012 писал(а):

а тот, что с плюсом $\pi /2$

[alves]

1.)$2\pi*i$ умножить на сумму вычетов.
2.)Это и пытаюсь выяснить.
3.)$i\pi$. да тут я с ума сошел.
4.)интеграл, где в знаменателе $z+z_0$, но там тоже значит ошибка.Он как-раз от $z_0$ зависит ?

[sup]

1. Нуууууууууу почти так. Надо бы еще учесть знак $a$ и "грамотно" применить лемму Жордана. Может там и вычетов то не понадобится (если не будет особенностей в "нужной" полуплоскости).
4. Если разберемся с интегралом где $z_0$, то для второго надо просто вместо $z_0$ подставить $-z_0$.
3. ОК
2. Интеграл в смысле главного значения это предел интегралов, у которых из области интегрирования выброшена $\varepsilon$ - окрестность. Теорию вычетов не применишь - нет замкнутого контура. Нет контура? Будет. Прибавим и вычтем интеграл по соответствующей полуокружности. Тот, что прибавили - объединим с двумя лучами - получим таки замкнутый контур. А уж для него - теория вычетов. А тот что отняли - с ним разбираемся отдельно. Его предел считается вручную. Вот такой план ....

[alves]

понял. В замкнутом контуре особенностей как раз не будет. Получается $0-i\pi$?