Проблема Эрдеша(открытые проблемы Википедия)

[hurtsy]

Цитата:

Насколько велика может быть сумма обратных величин для множества натуральных чисел, в котором никакой элемент не равен сумме двух других? (Эрдёш)

Данная задача не может считаться открытой проблемой. Её задолго до рождения великого венгра решил великий Эйлер.
Мне кажется, что это прокол Википедии.
Множеством натуральных чисел можно взять множество нечетных простых чисел. Эйлер доказал расходимость суммы обратных величин указанного множества. Может кто нибудь может возразить, что сумма двух нечетных простых чисел есть число составное?
С уважением,

[Sonic86]

Ну если это правда все, то следует исключить только пары простых-близнецов $(p,p+2)$, но вроде как даже если их бесконечное число, то ряд обратных к ним значений все равно сходится (точно не помню, надо проверить). И тогда получается, что Вы говорите правильно.
Проверьте!

-- Ср мар 23, 2011 19:21:09 --

А нет, наврал:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE% ... 0%F3%ED%E0
Тут указана функция плотности. Она стремится к бесконечности.
Так что облом.

-- Ср мар 23, 2011 19:41:04 --

Хотя можно взять лишь нечетные простые числа. Тогда каждое из них уж точно не сумма двух других. Тогда все нормально.

[hurtsy]

Sonic86 в сообщении #426623 писал(а):

то следует исключить только пары простых-близнецов

Пары близнецов удовлетворяют условию Эрдёша.

Sonic86 в сообщении #426623 писал(а):

Проверьте!

Не-а. Я в пургаторий не хочу.

Sonic86 в сообщении #426623 писал(а):

Так что облом.

С уважением,

[venco]

Sonic86 в сообщении #426623 писал(а):

Хотя можно взять лишь нечетные простые числа.

Или просто нечётные числа. Сумма обратных расходится.
Такое ощущение, что при переписывании потерялась какая-то существенная деталь.

-- Ср мар 23, 2011 09:00:24 --

Вот здесь даны даже оценки суммы:

Цитата:

Erdős: Suppose that S is a set of positive integers with the property that no element is the sum of two other elements. Such a set is called "sum-free." Let R(S) be the sum of the reciprocals of S. How large can R(S) be? Denote by R the supremum of R(S) over all sum-free S. It is known that R is less than 4, and R > 2.064 (Abbott and Levine-O'Sullivan, respectively).

[Sonic86]

venco в сообщении #426640 писал(а):

Sonic86 в сообщении #426623 писал(а):

Хотя можно взять лишь нечетные простые числа.

Или просто нечётные числа. Сумма обратных расходится.
Такое ощущение, что при переписывании потерялась какая-то существенная деталь.

Ааа, тогда действительно какая-то фигня...

[hurtsy]

Sonic86 в сообщении #426623 писал(а):

Тогда все нормально.

Вот теперь понятно. Ловлю на слове, спасибо. "И я того же мнения".

venco в сообщении #426640 писал(а):

Sonic86 в сообщении #426623 писал(а):

Хотя можно взять лишь нечетные простые числа.

Или просто нечётные числа. Сумма обратных расходится.
Такое ощущение, что при переписывании потерялась какая-то существенная деталь.

Ура, оказывается наши мнения могут иногда совпадать. С уважением,

Я всего навсего копипастил на Википедии.

[venco]

В формулировке с MathWorld разрешены суммы любого количества элементов.
Тогда тривиальное множество степеней двойки даёт в сумме лишь $2$, что меньше вышеупомянутого доказанного минимума $2.064$.

[Sonic86]

Цитата:

Тогда тривиальное множество степеней двойки даёт в сумме лишь $2$, что меньше вышеупомянутого доказанного минимума $2.064$.

Странно Неужели у них глюк!

[venco]

Sonic86 в сообщении #426664 писал(а):

Цитата:

Тогда тривиальное множество степеней двойки даёт в сумме лишь $2$, что меньше вышеупомянутого доказанного минимума $2.064$.

Странно Неужели у них глюк!

Почему глюк? Я думаю они нашли другое решение или доказали его существование.

-- Ср мар 23, 2011 09:46:32 --

А! Возможно, я неправильно использовал слово "минимум".
Эрдеш со товарищи доказал, что максимальная сумма находится в диапазоне $[2.064,4]$.

[Sonic86]

А, теперь понял. Сумму можно сделать сколь угодно близкой к нулю, поэтому интересна лишь максимальная.

[hurtsy]

venco в сообщении #426654 писал(а):

В формулировке с MathWorld разрешены суммы любого количества элементов.

Спасибо venco. Любые, но только из предыдущих в ряду. Возникает вопрос, не являются ли это двумя разными задачами(профессор Снэйп пресекает подобные вольности на раз ).
Кроме того возникает побочная задача, можно ли произвольное простое число представить в виде суммы некоторого числа меньших простых. С уважением,

Да ряд простых не является summ-free. Это легко следует из гипотезы де Полиньяка.

[venco]

hurtsy в сообщении #426706 писал(а):

venco в сообщении #426654 писал(а):

В формулировке с MathWorld разрешены суммы любого количества элементов.

Спасибо venco. Любые, но только из предыдущих в ряду.

Т.к. ряд упорядочен по возрастанию, то это одно и то же.

[Sonic86]

hurtsy писал(а):

Кроме того возникает побочная задача, можно ли произвольное простое число представить в виде суммы некоторого числа меньших простых.

Можно, конечно. Есть какая-то именная теорема в Серпинском (то ли в "Решение уравнений в целых числах", то ли в "Что мы знаем и чего не знаем о простых числах"). Где-то в конце книжки.

[hurtsy]

venco в сообщении #426732 писал(а):

Т.к. ряд упорядочен по возрастанию, то это одно и то же.

Как уточнение моей малоинформативной фразы "Любые, но только из предыдущих в ряду. " годится. Но,мне было бы обидно, если энергия 2( ЗУ -человекодня) ушла только на вытирание носа Википедии. Предлагается следующее:
Эрдёш сформулировал достаточный признак сходимости для summ-free множеств. Ваш контрпример и пример который я взял у Эйлера, показывают, что суммы двух элементов недостаточно для сходимости. Значит должно существовать минимальное количество элементов в сумме гарантирующее сходимость ряда обратных. А вдруг это число бесконечно
В этом я вижу пользу деятельности dxdy. С уважением,

[vorvalm]

hurtsy
Любое достаточно большое нечетное число представляется суммой минимум 3-х
простых чисел. См. М.М.Виноградов"Метод тригонометрических сумм".