Собственные функции и собственные значения

[fish-ka]

Помогите найти собственные функции и собственные значения оператора квадрата импульса ${p_x}^2$.
У меня получается $\psi=\frac{c_1}{\lambda}(Sin(\pm x+c_2))^2$. Правилен ли ответ? Если да, то как найти константы $c_1,c_2$? И как найти собственные значения?

[whiterussian]

А какие ограничения на $\psi$ вы знаете?

[Munin]

Насчёт константы $c_2.$ Функции с разными $c_2$ образуют целое подпространство с одним и тем же собственным значением. В этом подпространстве вам надо выбрать базис. Для этого по формулам синуса суммы и понижения степени приведите выражение к виду $Af_1(x)+Bf_2(x)+\ldots$ Если в таком выражении все $f_i(x)$ линейно независимые, они и образуют базис (ортогональность вам не нужна). Если линейно зависимые, лишние надо исключить.

[fish-ka]

whiterussian, из ограниченией только то, что нужна нормировка.
Munin, получается так:
$\psi=\frac{c_1}{\lambda}(1-Cos(2x) Cos (c_2)+ Sin(\pm 2x) Sin( c_2))$. Косинусы и синусы, входящие в это разложение вроде как линейно независимы. Вы писали: "они и образуют базис (ортогональность вам не нужна)." То есть не надо искать $c_2$? А как теперь найти собственные значения?

[ewert]

fish-ka в сообщении #426410 писал(а):

Помогите найти собственные функции и собственные значения оператора квадрата импульса

Во-первых: в какой области? Во-вторых -- неверно, конечно: квадрат импульса -- это, грубо говоря, энергия, а для неё собственные функции совсем не такие. В-третьих: а что вообще понимается под оператором импульса?... (у Вас как-то подозрительно отсутствуют множители физического характера).

В общем, было бы неплохо, если бы Вы для начала поставили задачу.

[fish-ka]

Про область ничего не сказано. Оператор импульса $p_x=-i \hbar \frac{\partial }{\partial x}$.

[Munin]

ewert в сообщении #426521 писал(а):

Во-вторых -- неверно, конечно: квадрат импульса -- это, грубо говоря, энергия, а для неё собственные функции совсем не такие.

А конкретно что вас не устраивает? Частица свободная.

fish-ka в сообщении #426518 писал(а):

Munin, получается так:
$\psi=\frac{c_1}{\lambda}(1-Cos(2x) Cos (c_2)+ Sin(\pm 2x) Sin( c_2))$.

Пока не получается. У вас стоит единица, при которой нет никакого произвольного коэффициента. Её надо "распихать" по другим функциям, тогда они примут искомый вид.

[ewert]

Munin в сообщении #426606 писал(а):

А конкретно что вас не устраивает? Частица свободная.

Тогда не устраивает, в частности, что у свободной частицы нет вообще, строго говоря, никаких собственных чисел и функций. Но это ладно, с жаргоном я готов примириться. Но вот откуда квадрат-то синуса, прости господи?... И куда несчастного Планка заныкали?..

Munin в сообщении #426606 писал(а):

У вас стоит единица, при которой нет никакого произвольного коэффициента. Её надо "распихать" по другим функциям,

Не по другим функциям, а по другим местам. Можно под шкаф, можно сразу в мусорное ведро, да много куда можно.

[Munin]

ewert в сообщении #426746 писал(а):

Но вот откуда квадрат-то синуса

Хм. Да. Квадрат синуса должен быть у квадрата модуля $\psi.$ Что-то я сглючил.

fish-ka
Проверьте, является ли выписанная вами функция собственной функцией требуемого оператора, явной подстановкой.

ewert в сообщении #426746 писал(а):

И куда несчастного Планка заныкали?..

Это-то как раз понятно, куда: $\lambda=2\pi\hbar/p.$

[ewert]

Munin в сообщении #426776 писал(а):

ewert в сообщении #426746 писал(а):

И куда несчастного Планка заныкали?..

Это-то как раз понятно, куда: $\lambda=2\pi\hbar/p.$

Эта лямбда -- совершенно не в то место засунута и, соотв., ни к каким планкам и вообще ни к чему физическому отношения не имеет.

[Munin]

ewert в сообщении #426780 писал(а):

Эта лямбда -- совершенно не в то место засунута

Да.