Дисперсия квадрата суммы случайных величин

[alexanderkuk]

Не могу решить вот такую задачку из домашнего задания:

Есть случайные величины $X_1, ... X_n \sim F$ независимы одиноково распределённые, нужно найти дисперсию $T_n = \overline{X}_n^2$, где $\overline{X}_n = \frac{\sum_i{X_i}}{n}$.

Есть ответ: $V(T_n) = \frac{4 \mu^2 \alpha_2}{n} + \frac{4 \mu \alpha_3}{n^2} + \frac{\alpha_4}{n^3}$, где $\mu = E(X_1)$ и $\alpha_k = \int \left| x - \mu \right|^k dF(x)$. Но я не могу понять, как он получился.

Вот, что у меня есть сейчас:
$V(\overline{X}_n^2) = E\left[\overline{X}_n^4\right] - \left[E(\overline{X}_n^2)\right]^2 = E\left[\overline{X}_n^4\right] - \left[V(\overline{X}_n) + \left(E(\overline{X}_n)\right)^2\right]^2$, где
$E(\overline{X}_n) = \mu$,
$V(\overline{X}_n) = \frac{\alpha_2}{n}$
,то есть $E(\overline{X}_n^2) = \mu^2 + \frac{\alpha_2}{n}$
неясно чему равно $E(\overline{X}_n^4)$, можно попробовать расписать $\overline{X}_n^4$ как сумму групп степеней четыре и потом посчитать для каждой матожидание, я, наверное, так и буду делать, но может быть есть ещё способы?

Если у вас есть какие-то соображения по поводу этой задачи был бы рад услышать.

[_hum_]

А почему бы сразу не работать с нормированной с.в. $\overset{\circ}{\Bar{X}} = \Bar{X} - \mu $,

$$V(\Bar{X}^2) = V((\Bar{X} - \mu + \mu)^2) = V(\overset{\circ}{\Bar{X}}\!\!\phantom{i}^2 + 2\mu\overset{\circ}{\Bar{X}}) = \dots$$