Определить сходимость в метрике L2[0,1]

[venenum]

Необходимо определить сходимость последовательности $f_n(x)=\sqrt{n}\sin{\frac \pi 2 x^n}$ в $L_2[0, 1]$
предел последовательности получается равен нулю на промежутке, но предел расстояния найти не удалось - синус от степенной функции оказался не по зубам.
помогите, чем можете.

[Полосин]

В интеграле сделайте замену $x^n=t$.

[venenum]

Пробовал, тоже оказался в тупике.

[Полосин]

Напишите подробнее.

[myra_panama]

Можно ли использовать здесь , следеующую (можно сказать и теорему..)
"Для сходимости последовательности $f:X \to R(C) , n \in N$ , на множестве X , необходимо и достаточно, чтобы

$$\lim\limits_{n \to \infty}(\sup\limits_{X}|f(x)-f_{n}(x)|)=0$$

"

[Null]

А разве $f_n(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{xn}},x>0,=0,x=0$ не сходиться?

[sup]

Можно немного по другому. Рассмотрите функцию $g_n(x)=\sqrt n x^{n-1}$. Найдите её норму в $L_2(0,1)$ (можно простую оценку снизу и сверху). Потом найдите скалярное произведение $(f_n(x),g_n(x))$. Сделайте выводы относительно нормы $\|f_n(x)\|_{L_2(0,1)}$.

[ewert]

$n\int\limits_0^1\sin^2(\frac{\pi}{2}x^n)\,dx>n\int\limits_{1-\frac1n}^1\sin^2(\frac{\pi}{2}x^n)\,dx>\sin^2(\frac{\pi}{2}(1-\frac1n)^n)\to\sin^2(\frac{\pi}{2e})$.
И в то же время поточечно эта функция везде (кроме единицы) стремится к нулю. Так что дело швах со сходимостью.

[Padawan]

Если бы сходилась к некоторой функции $f\in L^2[0,1]$, то на любом отрезке $[0,a]\subset [0,1)$ сходилась бы к $f$ в пространстве $L^2[0,a]$. Но на таких отрезках последовательность равномерно сходится к нулю. Значит $f(x)$ должна быть нулём. А $\|f_n\|_{L^2[0,1]}$ к нулю не стремится.