Find all continiuos function

[myra_panama]

Найти все непрерывные функции , определенные на отрезке [0,1] и удовлетворяющие для любого $x \in [0,1]$ равенству $f(xf(x))=f(x)$

[staric]

Константа (по смыслу - неотрицательная).

(Оффтоп)

Пусть для некоторого $x \in [0,1]$ $f(x)=c<1$ тогда $f(xc)=c$ и т.д. Для непрерывной функции $f(0)=c$. А поскольку тот же результат должен получаться для любого$x \in [0,1]$...
Если с>1, заметим, что $f(x/c)=c$, и т.д.

[Equinoxe]

staric, константность на [0, 1] я доказывала также, но почему если ф-ция константна на отрезке [0, 1], она константна везде? Или, может быть, это общеизвестно, тогда где про это почитать?
P.S.: константа, тем не менее, может быть любой, а не только неотрицательной. Вы забыли указать, что если знак ф-ции в x отрицательный, то док-во аналогичное.

-- Пт мар 18, 2011 16:12:38 --

К тому же тут не уточнено, является ли ф-ция аналитической, алгебраической, трансцендентной или какой-либо вообще, а это важно

[staric]

Э-э... Автор же, вроде, определяет функцию толька на [0, 1], или я не правильно понял? Правда, тогда даже и с>1 не очень катит...

[Equinoxe]

staric, аа, если только, то всё хорошо
UPD: Ох нет, а не всё хорошо. Для c < 0 аналогичное док-во не подходит (т.к. мы остановимся на аргументе < 0, где св-во не обязано выполняться), однако ф-ция f(x)=c<0 удовлетворяет условию

[Simba]

Можно полюбопытсвовать: а как вообще вы получили что функция - константа (имею ввиду, а как же остальные)?

[Equinoxe]

Simba, ф-ция константна только на отрезке $[0, 1]$, про другие история умалчивает, однако на другом форуме предложили, что было бы нелогично, если значения $f(x)$ не в $[0, 1]$.
Тогда работает следующее:
Возьмём произвольный $0 \leq x \leq1$ и посмотрим $f(x)$:
Случай 1. $0 < f(x) < 1$. Пусть $f(x)=a$, тогда $f(ax)=a$, $f(a^2x)=a$, … $f(a^nx)=a$, … Ясно, что аргумент бесконечно сходится к нулю и $f(0)=a$. Из-за непрерывности и того, что $f(0)=a$, все $f([0, 1])=a$ (тут самый важный момент задачи — если $f(0)=a$, оно уже не может быть $ a+\epsilon $, каким бы малым ни был $\epsilon$)
Случай 2-3. $f(x) = 0$ или $1$, либо все остальные также равны $f(x)$, что означает константность, либо есть только $0$ и $1$, что означает потерю непрерывности, либо найдём исключение и рассмотрим его

[Профессор Снэйп]

Изложу то же самое немного другими словами.

Пусть $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ --- произвольное решение. По условию $f$ отображает $[0,1]$ в $\mathbb{R}$ таким образом, что $xf(x) \in [0,1]$ для всех $x \in [0,1]$. Отсюда $f(x) \in [0,1/x]$ для всех $x \in (0,1]$. Заметим ещё, что из непрерывности $f$ в нуле следует $f(0) \geqslant 0$.

Допустим, что $f$ принимает значение, большее $1$. Тогда для некоторого $1 < c \neq f(0)$ функция $f$ принимает значение $c$. Пусть $d = \sup \{ x \in [0,1] : f(x) = c \}$. Из непрерывности $f$ получаем $f(d) = c$, из $c \neq f(0)$ --- $d > 0$. Но тогда $c = f(d) = f(d f(d)) = f(cd)$. Однако $d$ --- супремум, так что $cd \leqslant d$. Противоречие.

Если теперь предположить, что $f$ не константа, то можно выбрать $x_0, x_1 \in [0,1]$, такие что $f(x_0) < f(x_1) < 1$. Полагая $x_{n+2} = x_n f(x_n)$ для всех натуральных $n$, получаем $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$, $f(x_{2k}) = f(x_0)$, $f(x_{2k+1}) = f(x_1)$ и, переходя к пределам, $f(x_0) = f(0) = f(x_1)$. Снова противоречие.