Численное решение уравнения Эйлера

[Aracon]

Разбираюсь с сегментацией изображения методом змей (Kass et al.). Змеёй называется кривая, минимизирующая свою энергию. Иными словами, для поиска границы объекта на изображении задаётся некая энергетическая функция, которая как раз на границе должна достигать своего минимума, и производится поиск кривой, на которой достигается минимум этой функции.
Используются методы вариационного исчисления, по заданной функции строится соответствующее уравнение Эйлера. До этого места всё понятно.
Но вот дальше не совсем ясно: для того, чтобы искать решение, делают следующий финт. Пусть $\gamma = \gamma(r)$, $r \in [0,1]$, - параметризованная кривая. Получили для неё уравнение Эйлера, левую часть которого для простоты обозначим как $F(\gamma)$ (то есть реально там некоторый дифур, но для вопроса вроде бы не суть важно, как конкретно он выглядит - если будет нужно, напишу):

$$F(\gamma) = 0$$

Теперь говорят: чтобы получить решение уравнения (и заодно заставить "змею" эволюционировать), мы введём ещё один параметр t, то есть теперь кривая уже $\gamma = \gamma(r,t)$, $t \ge 0$, и запишем такое уравнение её эволюции:

$$F(\gamma) = \frac{\partial \gamma}{\partial t}$$

Говорится, что когда кривая перестанет меняться, то член справа обратится в ноль, и получим решение уравнения Эйлера.
Вот тут непонятно: в одну сторону всё ясно - кривая перестала меняться, производная нулевая, получили решение; а в другую не очень - почему в минимуме кривая не будет меняться? И почему, двигаясь по этому уравнению, она вообще придёт к минимуму?
То есть не совсем понятно обоснование такого шага, как переход к уравнению с производной по времени. Возможно, есть какое-то общеизвестное теоретическое обоснование такого шага, - тогда очень хотел бы подсказки, что и по каким ключевым словам почитать. Если же это что-то частное, то хотел бы помощи по пониманию, что происходит.