AlexMAS писал(а):
Компоненты Dxx и Dyy, если я правильно понимаю, определяют нормальные кривизны в направлении осей Ox и Oy соответственно.
Для кривизны важны еще и первые производные. Рассмотрим полуцилиндр
, ось которого параллельна
. Нормальная кривизна сечения плоскостью
всюду одна и та же, а производная
разная.
Обратный пример: параболический цилиндр
. Производная
всюду равна
, но кривизна зависит от
(легко заметить, что парабола
вблизи нуля более искривлена, чем вдали от нуля).
Поэтому лучше говорить не о нормальной кривизне, а о второй производной. Это не только
и
, но и производная по произвольному направлению -- мы ее сейчас вычислим.
AlexMAS писал(а):
Можно ли считать, что компоненты Dxy в матрице Гессе определяют нормальную кривизну в заданной точке в направлении dx·dy (то есть где-то по "диагонали" между Ox и Oy)?
Пусть вектор
, задающий направление дифференцирования в точке, получается поворотом вектора
против часовой стрелки на угол
. Тогда будем характеризовать направление этим углом
.
Найдем вторую производную по направлению
. Введем систему координат
, повернутую против часовой стрелки на угол
относительно координат
:
Координатные линии
имеют как раз направление
, поэтому находим
,
.
Это и есть вторая производная функции по направлению
. Видно, что "задействованы" все вторые производные, и ни при каком
не остается только
. Поэтому
не имеет смысла второй производной по какому-то "косому" направлению.
Пример: параболический цилиндр
. Значение
не меняется в "диагональном" направлении
, но
прекрасненько отлична от нуля.
имеет такой смысл: это скорость изменения
в направлении
= скорость изменения
в направлении
. В "трехмерном" представлении это выглядит так. Возьмем на поверхности
точку
, проведем через нее плоскость, параллельную
, получится сечение -- кривая
. Угловой коэффициент касательной к ней в точке
-- это
. Теперь будем двигать точку
, повторяя построение. Скорость изменения углового коэффициента -- и есть смешанная производная
. Если угловой коэффициент сечения
не меняется при изменении
-- смешанная производная равна нулю.
Моё мнение: "трехмерные" дифференциально-геометрические аналогии были бы полезны, если бы координата
была в каком-то смысле равноценна координатам
,
. Тогда, например, имел бы смысл поворот координат или поверхности вокруг произвольной оси, и дифгеометрические инварианты работали бы в полную силу. А так -- у нас все-таки область в двумерном пространстве
, в которой задана функция
. Тривиальное преобразование
изменит поверхность с постоянной
кривизной (сферу) в поверхность с переменной
кривизной (эллипсоид). Но оно не превратит функцию с постоянной
второй производной в функцию с переменной
второй производной.