Помогите, народ, задачку решить, пожалуйста.

[madartiviv]

Народ, помогите пожалуйста решить задачу номер 80 из задачника по классической электродинамике Алексеева.

Вот условие вкратце:

Используя свойства $\delta$-функции , найти распределение объемной плотности $\rho$ заряда в декартовых, цилиндрических и сферических координатах при наличии в пространстве следующих однородно заряженных систем:
а) сферической поверхности радиуса $R$, заряженной с поверхностной плотностью (сигма) (центр сферы совпадает с началом координат)
б) тонкого кольца с лин плотностью $q$
в) бесконечной нити с лин пл-тью $q$
г) плоскости XY, с поверхностной пл-тью $\sigma$
д) бескон. цилиндрич поверхности радиуса R, заряженной с пов. пл-тью (сигма)

Но, так-то, надо только вариант а) решить и только для декартовых координат, а с остальным по аналогии наверняка разберусь. Просто непонятки некоторые возникают с использованием дельта-функции.

Ответ для а) в декартовых координатах: $2R\sigma\delta (x^{2}+y^{2}+z^{2} - R^{2})$

вот как я начал было решать но застопорился:

$\rho(x,y,z) = A\delta (x^{2}+y^{2}+z^{2} - R^{2})$, где $A$ - некая константа, которую в принципе и надо вычислить

Полный заряд: $Q=4\pi R^{2}\sigma$

Но в то же время заряд через пространственную плотность: $Q = \int\int\int \rho(x,y,z)dxdydz$

И всё, тут я и спёкся =) Как взять интеграл от такой байдени? Или может я с самого начала ошибся когда $\rho$ ввёл? Подскажите народ, плиз. Очень надо сегодня/завтра.

[rotozeev]

Может перейти в сферические координаты? Тогда внутри дельта функции не будет углов - по ним при интегрировании вылезет $4\pi$ ну и т.п.

[madartiviv]

2rotozeev

Спасибо за ответ, но не пойдет. Я, так-то, сам решил в сферических, мне именно надо решить пункт с декартовыми. Уже второй день башкою об стенку. Не у кого поблизости спросить даже =(

[rotozeev]

Можно попробовать использовать свойства дельта функции - разложить ее в ряд Фурье. Получится вместо тройного - четверной интеграл, но зато там экспонента, и она факторизуется на произведения экспонент. Там получаются интегралы Пуассона. Но оставшийся в итоге интеграл странный:
$ \int \dfrac{e^{i\omega R^2}}{\omega^{3/2}}d\omega$
Наверное что то напутал, но направление есть.

[madartiviv]

тут вчера предыдущий человек написал что-то про замену после решения задачи в сферических координатах, я так и не понял откуда такая формула взялась. И ещё там у меня вроде ответ не такой как у него получился ($\rho = \sigma\delta(r-R)$), но не суть. Мне больше интересно как так хитро перешли с $\delta(r-R)$ к $\delta(r^{2}-R^{2})$. Может кто-нить посоветует где можно "кратко и доступно" (кроме Wiki) почитать про свойства дельта-функции (про смену координат точнее).
Думал может через эту ($\delta(r^{2}-a^{2})=\dfrac{1}{2|a|}(\delta(r-a)+\delta(r+a))$) формулу что-нить получится, но вроде не то.

2rotozeev
Ок, ща попробую в ряд разложить. Вы ведь это ( $\delta(t) = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega t}d\omega$ ) имеете ввиду?

А не, понял всё с заменой, туплю чё-то по жести =)

[rotozeev]

Да, я про такое разложение. А переход от квадратов к первым степеням наверное имелся ввиду такой:
$\delta(r^2-R^2)=\delta((r+R)(r-R))=\dfrac{1}{r+R}\delta(r-R)$, т.к. всегда $r+R>0$

Но все равно, я думаю, что задача понята не правильно. Нужно применять разные координатные системы для разных ситуаций, а не все ко всем. Более того, для нахождения константы перед дельта функцией не важно в каких координатах брать интеграл - значение то должно быть одним и тем же.

[madartiviv]

2rotozeev

Кажется я согласен, что задача понята не правильно. Но константа то будет разная всё-таки когда дельта-функция будет зависеть от $r-R$ в одном случае и другая когда от $r^{2}-R^{2}$. Хотя вот если в цилиндрические из декартовых перейти то ничего не меняется ибо $x^{2}+y^{2}$ просто заменяется на $r^{2}$, и константа та же (т.е. $2R\sigma$) остаётся.

как я помню замена так осуществляется:
$\delta(r-R) = \delta(r^{2}-R^{2})\left(\dfrac{\partial(r^{2}-R^{2})}{\partial r}\right)_{r=R}$ - надеюсь, что тут всё честно.
Отсюда и получаются эти $2R$ перед $\sigma$

Ну ладно, думаю вопрос можно считать закрытым, если считать что всё вышенаписанное верно.